Передаточна функція

Одною з основних характеристик об'єкту управління, використовуваною в теорії автоматичного управління, є передаточна функція, записана в термінах перетворення Лапласа.

Передаточною функцією об'єкту називається відношення перетвореного по Лапласу виходу об'єкту до перетвореного по Лапласу входу за нульових початкових умов.

Передаточна функція визначається тільки внутрішніми властивостями системи, є функцією комплексного змінного і позначається:

Передаточна функція характеризує динаміку об'єкту тільки по певному каналу, що зв'язує конкретний вхід об'єкту і конкретний вихід (рис. 3.13).

Якщо об'єкт має декілька входів і виходів, то він характеризується декількома передаточними функціями, визначити які можна безпосередньо, користуючись визначенням (3.36).

Приклад 3.4 Хай на вхід об'єкту подається сигнал , а на виході знімається сигнал, що описується функцією

Для визначення передаточної функції необхідно визначити і тоді передаточна функція . Як і диференціальне рівняння, передаточна функція повністю характеризує динаміку лінійного об'єкту. Якщо задано диференціальне рівняння об'єкту, то для отримання передаточної функції необхідно перетворити диференціальне рівняння по Лапласу і з отриманого алгебраїчного рівняння знайти відношення .

У загальному випадку диференціальне рівняння об'єкту представляється у вигляді

де – постійні коефіцієнти.

Після перетворення по Лапласу за нульових початкових умов отримують:

або

і тоді

Якщо відома передаточна функція об'єкту, то зображення виходу об'єкту дорівнює добутку передаточної функції на зображення входу :

Останній запис є не що інше, як загальна форма запису рішення диференціального рівняння в операторній формі.

Таким чином, передаточна функція дорівнює відношенню двох поліномів:

де

Для реальних фізичних об'єктів можна відзначити як характерну особливість той факт, що ступінь полінома завжди менше або рівна ступеню полінома , тобто , отже

Передаточна функція також взаємно пов'язана з часовими характеристиками.

Якщо є вираз для перехідної функції, отже, вхідний сигнал або вихідний сигнал або , і тоді передаточна функція дорівнює

Із (3.39) може бути отриманий вираз для перехідної функції через перетворення Лапласа

Якщо відомий вираз для вагової функції, то вхідний сигнал або , вихідний сигнал і, отже,

тобто вираз для передаточної функції є не що інше, як перетворення Лапласа від вагової функції.

Приклад 3.5 Нехай об'єкт описується диференціальним рівнянням . Знайти і .

Застосовуючи перетворення Лапласа: , визначаємо передаточну функцію .

Перехідна функція ; .

Вагова функція ; .