Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

6.1 Поняття стійкості і її визначення

У простому випадку поняття стійкості систем пов'язане із здатністю системи повертатися в стан рівноваги після зникнення зовнішніх сил, які вивели її з цього стану. Якщо система нестійка, то вона не повертається в початковий стан.

Таким чином, розрізняють три типи систем:

1) стійкі – системи, які після зняття збурень повертаються в початковий стан рівноваги;

2) нейтральні – системи, які після зняття збурення повертаються в стан рівноваги, відмінний від початкового;

3) нестійкі – системи, в яких не встановлюється рівновага після зняття збурень.

Наочно стійкість рівноваги представляється наступними рисунками (рис. 6.1).Положення рівноваги кулі характеризується точкою A₀. При відхиленні в положення A₁в першому випадку куля прагне до положення A₀, в другому не прагне до цього положення, в третьому –стан кулі байдужий.

Прикладом стійких систем можуть служити всі типові ланки, окрім інтегруючої, яке є нейтральним об'єктом.

Рис. 6.1 Ілюстрація поняття стійкості:

а – стійка система; б – нестійка система; в – нейтральна система

Рис. 6.2 Перехідні процеси при імпульсному збуренні:

a − аперіодична ланка першого порядку; б − інтегральна

Перехідні процеси, відповідні імпульсним вхідним сигналам, для аперіодичної ланки першого порядку і інтегруючої виглядають таким чином (рис. 6.2).

Прикладом нестійкої системи може служити об'єкт, охоплений додатним зворотним зв'язком. Так, деякі хімічні реактори, в яких відбуваються екзотермічні реакції, є нестійкими об'єктами, оскільки при підвищенні температури швидкість хімічної реакції збільшується, що у свою чергу приводить до збільшення виділення тепла реакції і підвищенню температури.

У нелінійних системах можливі і інші типи стану.

Розглянемо наступний приклад (рис. 6.3):

Рис. 6.3 Напівстійкі стани рівноваги

Стан рівноваги (рис. 6.3, а) стійкий лише до тих пір, поки відхилення не вийшло за деяку межу, визначену, наприклад, точкою B. Вийшовши за неї, куля вже не повернеться в точку A. Другий випадок (рис. 6.3, б) характеризує принципово можливий стан рівноваги для нелінійних систем, який називається напівстійким.

Розглядаючи нелінійні системи, вводять поняття стійкості "в малому", "у великому" і "в цілому":

− система стійка "в малому", якщо лише констатується факт наявності області стійкості, але межі її не визначені;

−система стійка "у великому", коли визначені межі області стійкості, тобто визначені межі області початкових відхилень, при яких система повертається в початковий стан;

− система, яка повертається в початковий стан при будь-яких початкових відхиленнях, називається стійкою "в цілому". Для деякого класу систем стійкість "в цілому" називається абсолютною стійкістю. Випадок, зображений на рис. 6.1, а, відповідає стійкості "в цілому", а на рис. 6.3, а – або "у великому", або "в малому". У розглянутому прикладі з кулею питання про стійкість вирішується просто, але в загальному випадку не завжди ясно, за яких умов рівноважний стан системи буде стійкий.

Як вже неодноразово наголошувалося, лінійна система автоматичного регулювання в загальному випадку описується лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами (3.8) і початковими умовами (3.9).

Регульована величина є вирішенням рівняння (3.8):

відносно складових і рішення (6.1) детально мовилося в п. 3.4. При розгляді питань стійкості інтерес викликає тільки вільна складова, визначувана загальним вирішенням однорідного диференціального рівняння (3.8) без правої частини. Фізичний сенс цієї складової полягає в тому, що це якраз те рішення, яке відмінне від нуля тільки протягом перехідного процесу і зникає при сталому режимі. Вимушена складова вихідної величини, залежна від виду зовнішньої дії і правої частини диференціального рівняння (3.8), на стійкість системи не впливає.

Стан рівноваги системи визначається вирішенням рівняння (3.8). Оскільки диференціальне рівняння має єдине рішення, то і стан рівноваги єдиний.

Математичне визначення поняття "стійкості" формулюється таким чином. Система є стійкою, якщо вільна складова перехідного процесу з часом прагне до нуля, тобто

при

При цьому вихідна координата системи прагнутиме до вимушеної складової, визначеної зовнішньою дією і правою частиною рівняння (3.8).

Якщо вільна складова необмежено зростає, тобто

при

то система нестійка.

Поняття стійкості розповсюджується і на більш загальний випадок – рух системи.

Содержание