7.4 Розширені частотні характеристики

Як відомо, амплитудно-фазова характеристика є конформним відображенням уявної осі площини коренів характеристичного рівняння на площину АФХ. Механізмом її отримання є заміна в передаточній функції комплексного параметра s на iω. Введення в розгляд запасу стійкості рівносильно перенесенню межі стійкості.

Якщо запас стійкості характеризується ступенем стійкості, то в цьому випадку межа стійкості як би зрушується вліво на величину (рис.7.9, а).

Відображення нової межі стійкості, яка характеризується заданим ступенем стійкості, на площину АФХ дасть деякий годограф, який отримав назву розширеної амплитудно-фазової характеристики. У площині коренів характеристичного рівняння будь-яка точка на прямій заданої ступені стійкості визначається як s = +iω. Отже, для отримання розширеної частотної характеристики необхідно в передаточній функції комплексний параметр s замінити на (- +iω). Годограф розширеної амплитудно-фазової характеристики (РАФХ) W( +iω) в порівнянні із звичайною АФХ став як би ширше ("розпухнув") (рис. 7.9, б), у зв'язку з чим ця характеристика і отримала назву розширеної. Згідно властивостям конформного відображення при ω = 0 ця РАФХ виходить під кутом 90° до дійсної піввісі.

Наступна розширена частотна характеристика характеризується заданим ступенем коливальності. В цьому випадку межа стійкості визначається променями AОВ(рис. 7.10 а).

Рис 7.9 Розширена частотна характеристика по ступеню стійкості:

а - площина коренів характеристичного рівняння; б - частотні характеристики

Рис. 7.10 Розширена частотна характеристика по ступеню коливальності:

а - площина коренів характеристичного рівняння; б - частотні характеристики

Відображення цієї межі на площині АФХ і дає годограф розширеної амплитудно-фазової характеристики по ступеню коливальності m.

На променях AOBпараметр s має координати (-α, iω), які зв'язані співвідношенням

, тоді , отже, для отримання РАФХ достатньо в передаточній функції комплексний параметр s замінити на (-mω + iω). Годограф даної РАФХ - W на площині АФХ ширше, ніж годограф звичайної АФХ, і приω=0 виходить під кутом

(рис. 7.10,б).

Розширені амплитудно-фазові характеристики можуть бути записані через розширені амплитудно- і фазочастотні характеристики:

(7.10)

Приклад 7.1 Побудувати розширені частотні характеристики, якщо

а) Проводячи заміну s = -mω + iω, маємо

АФХ:

АЧХ:

ФЧХ:

Рис. 7.11 Розширенні частотні характеристики:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в - АФХ

Графік частотних характеристик зображений на рис. 7.11.

Порівняння АФХ і РАФХ показує, що для будь-якої частоти значення M(m, ω), φ(т,ω) більше по абсолютній величині чим M(ω), φ(ω), томугодографW(-mω + iω) ширше, ніж W(iω).

б) Проводячи заміну s= -η + іω, маємо:

АФХ:

АЧХ:

ФЧХ:

Графіки частотних характеристик зображені на рис. 7.12.

Рис. 7.12 Розширенні частотні характеристики:

а – АЧХ; б – ФЧХ; в - АФХ