6.2 Стійкість лінійного диференціального рівняння з постійнимикоефіцієнтами

Як відомо, поведінка системи після зняття збурення, тобто вільний рух, описується вирішенням однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:

і заданими початковими умовами.

З цим рівнянням пов'язаний характеристичний поліном:

Без обмеження спільності припустимо, що корені цього полінома різні, тоді вирішення рівняння записується у вигляді

Дослідимо характер рішення. Хай, наприклад, корінь – дійсний, тоді можливі два випадки:

a) В цьому випадку складова має вид кривої, що асимптотично наближається до осі абсцис (рис.6.4,а).

Дійсно, при має місце умова

Таким чином, якщо все корені– дійсні від’ємні, то і всі доданки прагнутимуть до нуля, а, отже, і їх сума.

б) Нехай один з коренів дійсний і додатний тоді абсолютна величина доданку безмежно зростатиме при (рис. 6.4, б), тобто при . В цьому випадку навіть у тому випадку, коли решта всіх складових рішень прагне до нуля при .

в) Нехай рівняння (6.5) має комплексно-зв'язані корені. Тут також можливі два випадки.

Перший випадок, якщо , причому , тоді рішення є затухаючими коливаннями з частотоюω (рис. 6.5, в), оскільки при і, отже, весь вираз також прагне до нуля при зростанні t.

Якщо комплексно-зв'язані корені маютьвід’ємну дійсну частину, то відповідні члени рішення прагнуть до нуля при

г) Нехай В цьому випадку рішенням є коливання з наростаючою амплітудою (рис.6.4,г), оскільки при отже

д) Допустимо тепер, що рівняння (6.5) має уявні корені, тобто тоді рішення матиме вигляд: тобто незгасаючі коливання (рис. 6.4, д).

е) Нехай рівняння має нульовий корінь в цьому випадку тобто рішення є константою.

Складову рішення дає загальне вирішення рівняння без правої частини, яку часто називають перехідною складовою рішення. Стійка система характеризується тим, що при Якщо ж ця умова не дотримується, то система нестійка, якщо то система нейтральна, а якщо є незгасаючими коливаннями, то система знаходиться на межі стійкості. Таким чином, система стійка тоді і тільки тоді, коли всі корені характеристичного рівняння маютьвід’ємну дійсну частину. Це правило отримала назву–ознака стійкості.

Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб все корені характеристичного рівняння мали від’ємні дійсні частини. Геометрична інтерпретація цієї ознаки показана на рис. 6.5.

Звідси витікає наступне формулювання ознаки стійкості: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб все корені характеристичного рівняння знаходилися в лівій напівплощині комплексної змінної s. Якщо хоч би один корінь лежить праворуч від уявної осі, то система нестійка. Якщо ж хоч один корінь лежить на уявній осі, система знаходиться на межі стійкості. Уявна вісь є межею стійкості. Якщо характеристичне рівняння має одну пару уявних коренів, а решта всіх коренів знаходиться в лівій напівплощині, то система знаходиться на коливальній межі стійкості. Якщо ж рівняння має нульовий корінь, то система знаходиться на аперіодичній межі стійкості.