12.2.2.1 Поняття про знаковизначенні, знакопостійні і знакозмінні функції

Хай є функція декількох змінних V = V(y1, y2, ..., yn), де у1, у2, ..., ynє прямокутними координатами n-мірного фазового простору. У кожній точці цього простору функція Vмає деяке певне значення, залежно від того, які це будуть значення, вводяться назви цієї функції.

Функція V називається знаковизначеною в даній області, якщо вона в усіх точках цій області навколо початку координат зберігає один і той же знак і ніде, окрім початку координат, не звертається в нуль.

Прикладом знаковизначеної функції є функція виду

V = у12 + у22 +...+ yn2,

яка при всіх дійсних значеннях у1,у2, ..., уnбуде позитивною (V>0) і лише, коли одночасно

у1 = 0, у2 = 0, ..., yn=0 вона обертається в нуль (V = 0). Ця функція називається знаковизначеною позитивною на відміну від функції

,

яка називається знаковизначеною негативною, оскільки для будь-яких у1, у2, ..., уn V < 0 і

V = 0 при у1= 0, у2 = 0, ..., уn = 0.

Функція V називається знакопостійною, якщо вона в даній області зберігає один і той же знак, але може звертатися в нуль не тільки на початку координат, але і в інших точках даної області.

Прикладом знакопостійної функції при n = 3 є функція V = (y1 + у2)2 + у32, яка обертається в нуль, крім початку координат, ще на прямій у2 = -у1 і у3= 0, у решти всіх точок вона позитивна. Функція V = |siny1 + cosy2| також є знакопостійною, оскільки вона при всіх дійсних y1 і у2 позитивна або рівна нулю.

Функція Vназивається знакозмінною, якщо вона в даній області навколо початку координат міняє свій знак.

Прикладом знакозмінної функції є функція V = y1 + y2. Ця функція позитивна для всіх точок праворуч від прямої у1 = -у2 і негативна зліва від цієї прямої.