Спектри сигналів

Як вже було сказано, періодичний сигнал представляється рядом Фурье (2.2), і структура його спектру повністю визначається амплітудами і фазами гармонік, тобто модулем і аргументом .

Безперервна крива, що з’єднує кінці спектру, називається огинаючою спектру амплітуд. На практиці часто зручна для застосування комплексна форма ряду Фурье:

де – комплексна амплітуда

Для спектру будь-яких періодичних сигналів можна встановити характерні властивості:

1 Спектри завжди дискретні, вони містять тільки гармоніки, частоти яких кратні основній частоті. Деякі гармоніки можуть бути відсутніми.

2 Чим більше період сигналу тим менше інтервал між сусідніми частотами і, отже, "густіше" спектр. При отримують неперіодичну функцію, спектр якої стає суцільним, але при цьому амплітуди зменшуються.

3 Із зменшенням тривалості імпульсів при постійному періоді амплітуди гармонік зменшуються, а спектр стає "густішим".

4 Якщо із зменшенням тривалості прямокутних імпульсів збільшувати амплітуду згідно із законом то їх послідовність прагнутиме до послідовності дельта-функцій, а амплітудний спектр – до постійного для всіх частот значення .

Для неперіодичних сигналів вводиться поняття спектральної щільності, яка є

де – нескінченно малі амплітуди неперіодичної функції

Величину називають також спектральною характеристикою неперіодичної функції, а модуль – спектром.

Оскільки спектральна характеристика комплексна величина, то її можна представити у вигляді

где

Структура спектру періодичного сигналу повністю визначається модулем і фазою спектральної характеристики.

Залежність модуля і фази спектральної характеристики неперіодичного сигналу називають відповідно спектром амплітуд і спектром фаз неперіодичного сигналу. Особливості спектральних властивостей неперіодичного сигналу полягають в наступному:

1 Спектр завжди безперервний і характеризується щільністю амплітуд гармонік, що доводяться на інтервал .

2 При зменшенні тривалості імпульсу його спектр розширюється уздовж осі а значення щільності амплітуд зменшуються.

3 Якщо одночасно із зменшенням тривалості τ прямокутного імпульсу збільшувати його амплітуду згідно із законом то імпульс наближається до дельта-функції, а спектральна щільність до постійної величини, рівної одиниці у всьому діапазоні частот .