14.1. Опис систем у просторі станів

Розвиток високоякісних систем керування зажадало розробки нових методів їхнього аналізу і синтезу.

Сучасна теорія керування, основу якої заклали відомі роботи Л.С.Понтрягина, Р.Беллмана й Р.Калмана, базується на описі систем у просторі станів. Опис у просторі станів являє собою загальний погляд на будь-які системи і придатний для дослідження і проектування складних систем з багатьма входами і виходами, тобто багатомірних і багатозв’язних систем. З математичної точки зору аналіз систем у просторі станів означає використання методів матричного вирахуванняі векторного аналізу.

Поняття станує визначальним у сучасній теорії керування.

Під станом системи розуміється мінімально-необхідний набір змінних величин системи x₁,x₂,...,x_n, здатних однозначно і єдиним образомвизначитиположення системи в будь-який момент часу t. Сукупність змінних величин x₁,x₂,...,x_n утворить n-мірний простір станів Rn. Вектор з компонентами x₁,x₂,...,x_n називається вектором стану.

Розглянемо систему (рис.14.1) з m входами (u₁,u₂,...,u_m), r виходами (y₁,y₂,..., y_r) і n змінними координатами (x₁,x₂,...,x_n).

Рис. 14.1. Модель системи

Поводження системи в часі можна характеризувати не тільки вихідними величинами, але й проміжними змінними координатами в ланцюзі системи – зміннимистану x_i, число яких дорівнює порядку системи n. Таким чином, виходить n-мірний вектор стану X, безліч можливих положень якого утворить векторний простір, називаний простором станів системи Rn. Величина й положення вектора стану системи із часом t змінюються, у результаті чого вектор X(t) описує криву, називану траєкторією руху системи в просторі станів.

У загальному випадку звичайних лінійних систем, описуваних системою диференціальних рівнянь у нормальній формі, розглянута система може бути визначена наступною векторно-матричною формою

(14.1)

де X - вектор стану системи, Y - вектор вихідних керованих величин, U - вектор зовнішніх впливів (що задають і що обурюють), а саме:

, , ;

А, В, C, D - матриці системи.

Система рівнянь (14.1) є стандартним описом систем керування в просторі станів.

Рівняння (14.1) несуть великий обсяг інформації про динамічні властивості системи з m входами й r виходами при t₀ t  T.

Перше рівняння з (14.1) визначає динамічні характеристики системи і являє собою компактний запис системи n лінійних диференціальних рівнянь, дозволених відносно похідних першого порядку (нормальна форма Коші)

при i=1,2, ... ,n, (14.2)

де a_ijі b_ij - постійнікоефіцієнти.

Другерівнянняз (14.1) єрівняннямвиходусистемиіявляєсобоюкомпактнийзаписсистеми r лінійнихалгебраїчнихрівнянь

приi=1,2, ... ,r, (14.3)

деc_ijіd_ij–постійнікоефіцієнти.

Устандартнійформіопису (14.1)

- матриця системи;

- матриця керування;

- матриця спостереження;

- матриця зв'язку.

Матриця системи A, елементи якої визначаються структурною схемою системи й значеннями її параметрів, характеризує динамічні властивості системи, її вільний рух. Матриця керуванняB характеризує вплив зовнішніх впливів на змінні стану системи, тобто визначає чутливість системи до зовнішніх впливів (що задають і що обурюють). Матриця спостереження C характеризує зв'язок вихідної величини системи з вектором стану. Звичайно не всі складового вектора стану є спостережуваними сигналами, тобто можуть бути обмірювані за допомогою яких-небудь датчиків, у той час як вихідний сигнал завжди спостерігаємо. Матриця зв'язку D встановлює зв'язок вихідної величини системи із зовнішнім впливом.

Таким чином, четвірка матриць A, B, C, D повністю визначає систему керування.

Матричні методи дають можливість звертатися з n рівняннями подібно тому, як це робиться з одним рівнянням.

На рис.14.2 показана структурна схема системи керування, що відповідає стандартній формі опису систем у просторі станів; подвійні лінії на рисунку характеризують векторні зв'язки. Варто мати на увазі, що вибір змінних стану це неоднозначна операція.

Значення початкового стану X(t₀) і вхідного впливу U(t) достатні для того, щоб однозначно і єдиним образом знайти вихідну величину Y(t) на інтервалі часу t₀ t  T, тобто визначити значення Y(t) у сучасний момент і пророчити поводження її в майбутньому.

Таким чином, стандартний опис систем керування в просторі станів дозволяє однозначно визначити вихідну величину системи по відомому зовнішньому впливу й початковому стану системи.

Рис. 14.2. Структурна схема системи у векторній формі:

(∫ - блок інтеграторів; A,B,C,D - блоки матричних підсилювачів

Рівняння змінністану являють собою найбільш повний математичний опис динаміки системи з декількома входами й виходами й дозволяють виробити підхід для рішення різних класів завдань теорії керування з єдиних позицій.