Рішення диференціальних рівнянь

Одним з найважливіших застосувань операційного числення – перетворення Лапласа – є вирішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, якими якраз і описуються дані системи автоматичного управління.

Рішення диференціального рівняння в цьому випадку складається з наступних етапів:

1) перетворення рівняння по Лапласу;

2) відшукання рішення в області комплексної змінноїs;

3) перехід в область дійсної змінної шляхом зворотного перетворення Лапласа.

Приклад 3.2.

Перетворимо дане рівняння по Лапласу:

Звідки

Нехай поліном має рішення і тоді, як буде показано нижче, можна записати

де – деякі коефіцієнти, визначені методом невизначених коефіцієнтів:

Користуючись таблицями зворотного перетворення Лапласа, знаходимо

Отриманий вираз є рішенням лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку при вхідному сигналі тобто нічим іншим, як перехідною функцією для лінійного об'єкту другого порядку.