11.3.1 Інтегрування рівнянь фазових траєкторій

У лінійних системах інтегрування диференціального рівняння фазових траєкторій (11.3) не представляє труднощів. Для нелінійних систем це завдання істотно ускладнюється. Аналітичне рішення в більшості випадків отримати не вдається, тому для побудови фазових портретів нелінійних систем застосовують чисельне інтегрування рівняння (11.3). У ряді випадків заздалегідь проводять якісне дослідження системи, що вивчається. Завдяки використанню методів якісної теорії диференціальних рівнянь визначають структуру фазових портретів - число і тип можливих в даній системі станів рівноваги, кількість граничних циклів і їх взаєморозташування, наявність сепаратрис. Все це дозволяє визначити сукупність можливих в досліджуваній системі режимів роботи, і чисельне інтегрування рівняння фазових траєкторій виконати для цілого ряду початкових умов, які є найбільш важливими з погляду виділення областей фазового портрета.

Приклад 11.1 Побудувати фазовий портрет нелінійної системи методом інтегрування рівняння фазової траєкторії.

Нелінійна система описується диференціальним рівнянням

,

де f(y) - релейна характеристика вигляду

В цьому випадку рівняння нелінійної системи записується для трьох ділянок релейної характеристики

Розглянемо, як найпростіше, друге рівняння системи і отримаємо для ділянки нечутливості релейної характеристики рівняння фазової траєкторії. З цією метою проводиться підстановка у1 = у; у2 = dy/dt і диференціальне рівняння другого порядку зводиться до системи диференціальних рівнянь першого порядку

Поділивши друге рівняння на перше, отримаємо диференціальне рівняння фазових траєкторій

,

вирішення якого дає

,

де С1 - постійна інтегрування, яка визначається початковими умовами.

Таким чином, фазові траєкторії на ділянці -С<у < С є прямими лініями (рис. 11.6). Рух по фазових траєкторіях відбувається у верхній напівплощині, де у2>0, зліва направо, а в нижній напівплощині, де у2<0, - справа наліво.

Рис. 11.6 Фазовий портрет для системи автоматичного управління з релейною характеристикою – двопозиційне реле із зоною нечутливості.

По першому рівнянню нелінійної системи можна побудувати фазовий портрет правіше за лінію II - II . Для цього аналогічним чином отримуємо рівняння фазових траєкторій

,

звідки

.

Інтегрування останнього виразу, переписаного у вигляді

,

дає фазові траєкторії у вигляді логарифмічних кривих

які зображені на рис. 11.6 правіше за лінію II - II, де у1> С.

Третє рівняння нелінійної системи дозволяє записати рівняння фазових траєкторій лівіше за лінію I - I. Це рівняння, отримане таким же чином, як і попереднє, записується у вигляді

,

звідки

,

і, відповідно,

Фазові траєкторії на ділянці лівіше за лінію I - I, де y1 <С, є логарифмічні криві (рис. 11.6).

Таким чином, фазові траєкторії отримані для трьох різних ділянок, які необхідно зв'язати між собою, але метод безпосереднього інтегрування рівняння фазових траєкторій без додаткових пропозицій цього зробити не дозволяє, але проте він дає повне уявлення про характер фазового портрета за винятком ліній I - I і II - II.