16.1. Основні поняття систем оптимального керування

Оптимальнимназивається керування, здійснюваненайкращим за певними показниками образом. Системи, що реалізують оптимальне керування, називаються оптимальними.Організація оптимального керування заснована на виявленні й реалізації граничних можливостей систем.

Теорія оптимального керуваннявиникла в середині 50-х років поточного сторіччя на базі завдань теорії автоматичного регулювання. Пізніше оптимальне керуванняпоширилося на об'єкти виробничо-економічного характеру. Значний розвиток теорія оптимального керуванняодержала в результаті робіт радянських учених - академіка Л. С. Понтрягина і його співробітників В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Ці роботи широко використовуються для синтезу оптимальних систем керування як у нашій країні, так і за рубежем. Значний внесок у розвиток оптимального керування внесли радянські вчені А. А. Фельдбаум, Н. И. Красовский, А. М. Летів, В. С. Пугачов і ін., а також закордонні вчені Р. Беллман, Р. Калман, М. Атанс, П. Фалб і ін.

Важливий напрямок розвитку систем оптимального керування- самонастроювальні системи, що реалізують автоматичну оптимізацію. У цій області широко відомі роботи радянських учених В. М. Глушкова, П. И. Чинаева, В. М. Кунцевича, американських учених Дж. Траскела, Л. Брауна й ін.

При розробці систем оптимального керування одним з найважливіших кроків є формулювання критерію оптимальності, під яким розуміється основний показник, що визначаєзавдання оптимізації. Саме за цим критерієм оптимальна система повинна функціонувати щонайкраще.

Як критерії оптимальності виступають різноманітні технічні й техніко-економічні показники, що виражають техніко-економічну вигоду або, навпаки, втрати. У першому випадку оптимальне керування повинне забезпечувати максимум критерію оптимальності, наприклад продуктивності, коефіцієнта корисної дії, прибутку й т.д., при заданих реальних умовах роботи й обмеженнях. У другому випадку оптимальне керування повинне забезпечувати мінімум критерію оптимальності при заданих обмеженнях, наприклад витрати енергії, палива, фінансових ресурсів і т.п.

У силу суперечливості вимог, пропонованих до систем автоматичного керування, вибір критерію оптимальності звичайно перетворюється в складне завдання, що має неоднозначне рішення. Наприклад, оптимізація автоматичної системи за критерієм надійності може викликати збільшення вартості системи, її ускладнення. З іншого боку, спрощення системи знизить ряд інших її показників. До того ж, не всяке оптимальне рішення, синтезоване теоретично, можна реалізувати на практиці на базі рівня, що досягається, техніки. У зв'язку із цим найчастіше керування синтезується оптимальним по якому-небудь основному критерії, а інша, визначальна якість функціонування системи, обмежуються областю припустимих значень. Це спрощує й робить більшепевноїзавданняпошуку оптимальних рішень при розробці оптимальних систем. Разом з тим ускладнюється завдання вибору конкуруючих варіантів систем, тому що вони рівняються за різними критеріями, а оцінка системи не має однозначної відповіді. Дійсно, без ретельного аналізу безлічісуперечливих, найчастіше неформалізуємихфакторів важко відповісти, наприклад, на таке питання - яка із систем краще: більше надійна або менш дорога?

Критерій оптимальності звичайно представляється у вигляді деякого функціонала. Функціонал у такому випадку можна визначити як функцію, аргументи якої пов'язані із критеріями оптимальності й саміє функціями змінних.

Узагальнений критерій якості роботи динамічної системи можна представити у вигляді функціонала якості

J = F(C, K, H, W, М, V), (16.1)

де С— вартість розробки, створення й експлуатації системи; K — якість функціонування; Н — надійність; W — споживана енергія; М — маса; V — обсяг.

Кожний з перерахованих аргументів функціонала J є самостійним критерієм якості й функцією багатьох змінних.

Неважко бачити, що оптимізація системи по функціоналі (16.1) практично неможлива, тому що його значення визначається багатьма суперечливими факторами. Тому в теорії керуваннявикористовуються функціонали, що характеризують окремі показники якості роботи систем керування. Стосовно до динамічних систем функціонал якості в загальному випадку містить у собі координати виходу X{x1 x2.....хn}, координати керуючих впливів U{u1 u2,..., ur} і координати збурюючи дій F{f1, f2,.., fk}, де n, r, k — число відповіднихзмінних. При цьому функціонал якості систем у векторній формі має вигляд

або

де t1,t2 - інтервали часу, у яких визначається функціонал.

Оптимальне поводження або стан системи забезпечується тоді, коли функціонал (16.2) досягає свогоэкстремума J = extr - максимуму або мінімуму, залежно від фізичного змістузмінних.

У практиці розробки й дослідження динамічних систем найбільше часто зустрічаються два завдання: 1) синтез системи, оптимальної по швидкодії; 2) синтез системи, оптимальної по точності. У першому випадку необхідно забезпечити мінімум часу перехідного процесу Xi(t), у другому — мінімум середньоквадратичної помилки (відхилення координати Xi(t) від заданого значення) при заданих або випадкових впливах.

Не зупиняючись на глибокому обґрунтуванні вибору конкретного критерію оптимального керування, укажемо деякі типи критеріїв оптимальності, підрозділяючи їх залежно від режиму роботи динамічної системи.

Критерій оптимальності системи, оптимальної по швидкодії,

При f (t) = [1] маємо J=t₂ -t₁=min.

Система, оптимальна по точності в динамічних режимах, характеризується наступним функціоналом якості:

де Δx(t) відхилення вихідної величини від заданого значення; 0, T - розглянутий інтервал часу.

Квадратзмінної під знаком інтеграла забезпечує незалежність критерію від знака відхиленнявихіднийзмінної. Критерій (16.5) характеризує сумарну помилку в динамічній системі керування за час перехідного процесу. Мінімізація функціонала (16.5) означає обмеження відхилень регульованої величини й часу їхнього існування.

У ряді випадків використовується узагальнена інтегральна оцінка, що обмежує відхилення не тільки вихіднийзмінної, але і її похідних.

Оптимальна за умовами інваріантності (незалежності) від збурюванняfi(t) система характеризується показником якості

де xi(t) змінна, для якої потрібно забезпечити незалежність від збурюванняfi(t); τ- збільшення часу.

Для багатомірних об'єктів керування, тобто для об'єктів здекількома керованими змінними, необхідно забезпечити незалежність деякоїзмінноїxi(t) від іншийзмінноїXk(t). Функціонал якості в таких системах

Оптимальні системи, що функціонують за критерієм (16.6), називаються інваріантними, а за критерієм (16.7) — автономними.

Якщо екстремальне значення функціонала якості залежить від багатьох зміннихQ (х1, х2,..., хп), те встановлюється одна, найбільш істотна із цихзміннихXj, і оптимізація системи здійснюється за критерієм оптимальності

У динамічних системах автоматичного керування часто ставиться завдання мінімізації витрати енергії, затрачуваної на функціонування системи. У цьому випадку мінімізується функціонал якості, що характеризує витрату енергії. Наприклад, при керуванні об'єктом, що харчується від джерела електричної енергії, система, оптимальна по витраті енергії, повинна задовольняти умові

де u, i — напруга й струм навантаження.

У теорії керуваннявикористовуються так звані мінімаксні критерії оптимальності, щохарактеризують умови найкращої роботи системи в найгірших можливих умовах. Прикладом використання мінімаксного критерію може бути вибір на його основі варіанта системи автоматичного керування, що має мінімальне значення максимального пере регулювання.

Як відзначалося вище, критерій оптимальності реалізується при наявності обмежень, що накладаються на змінні й на показники якості керування. У системах автоматичного керування обмеження, що накладаються на координати керування, можна підрозділити на природні й умовні.

Природні обмеження відбивають обмеження координат по модулі, що випливають із природних властивостей системи і її елементи: . Ці обмеження часто обумовлюються принципом роботи об'єкта й елементів регулятора. Наприклад, насичення в електромагнітних ланцюгах обмежує вихідну величину незалежно від ростувхідний, витрата палива обмежена максимальним відкриттям клапанів і т.д.

Умовні обмеження вводяться в систему свідомо з метою забезпечення конкретних вимог. Наприклад, силаструму електродвигуна обмежується за умовами припустимого нагрівання при заданому строку експлуатації. Умовні обмеження звичайно задовольняються обмеженнями, що накладаються на зміннікерування що забезпечує обмеження всіх координат системи:

Оптимальні системи класифікуються по різних ознаках. Відзначимо деякі з них.

Залежно від реалізованого критерію оптимальності розрізняють:

1) системи, оптимальні по швидкодії. Вони реалізують критерій мінімального часу перехідних процесів;

2) системи, оптимальні по точності. Вони формуються за критерієм мінімуму відхиленнязмінних за час перехідних процесів або за критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки;

3) системи, оптимальні по витраті палива, енергії й т.д., що реалізують критерій мінімуму витрати;

4) системи, оптимальні за умовами інваріантності. Вони синтезуються за критерієм незалежності вихіднихзмінних від зовнішніх збурювань або від іншихзмінних;

5) оптимальні екстремальні системи, що обумовлюють критерій мінімуму відхилення показника якості від його екстремального значення.

Залежно від характеристик об'єктів оптимальні системи підрозділяються на лінійні, нелінійні, безперервні, дискретні, адитивні, параметричні. Ці ознаки, крім двох останніх, не мають потреби в поясненнях. В адитивних системах впливу на об'єкт не змінюють його характеристик. Якщо ж впливу змінюють коефіцієнти рівнянь об'єкта, то такі системи називаються параметричними.

Залежно від типу критерію оптимальності оптимальні системи підрозділяються на наступні:

1) рівномірно-оптимальні, у яких кожний окремий процес протікає оптимально;

2) статистично оптимальні, що реалізують критерій оптимальності, що має статистичний характер через випадкові впливи на систему. У цих системах найкраще поводження забезпечується не в кожному окремому процесі, а лише в деяких. Статистично оптимальні системи можна назвати оптимальними в середньому;

3) мінімаксні оптимальні, які синтезуються з умови мінімаксного критерію, що забезпечує кращим найгірший результат у порівнянні з подібним найгіршим результатом у будь-якій Іншій системі.

По ступені повноти інформації про об'єкт оптимальні системи підрозділяються на системи з повною й неповною інформацією. До складу інформації про об'єкт включаються відомості: про залежність між вхідними й вихідними величинами об'єкта; характерізбурювання; стані об'єкта; впливі, що задає, визначальному необхідний режим роботи системи; метикерування - функціоналі, що виражає критерій оптимальності.

Інформація про об'єкт у дійсності завжди неповна, однак у багатьох випадках це не робить істотного впливу на функціонування системи за вибранимкритерієм оптимальності. У ряді ж випадків неповнота інформації настільки істотна, що при рішеннізавдань оптимального керування потрібне використання статистичних методів.

Залежно від повноти інформації від об'єкта керування критерій оптимальності може бути обраний «твердим» (при досить повній інформації) або «що пристосовують», тобто, що змінюється при зміні інформації. За цією ознакою оптимальні системи підрозділяються на системи із твердим настроюванням і адаптивні. У число адаптивних систем входять екстремальні, самонастроювальні й системи, що навчаються. Ці системи найбільше повно відповідають сучасним вимогам, пропонованим до систем оптимального керування.