Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

15.6. Частотні характеристики імпульсних систем

Частотні характеристики імпульсних систем визначаються аналогічно звичайним лінійним системам.

Вираження для частотних характеристик імпульсних систем виходять із їхніх передатних функцій шляхом заміни оператора z на e^j^^T. Тому що частота  входить у показник ступеня числа e, те частотні характеристики є періодичними функціями частоти, період зміни яких дорівнює T. Отже, не можна розрізнити складові, частоти яких кратні частоті квантування імпульсного елемента ₀ = 2/Т.

Таким чином, частотна передатна функція розімкнутої імпульсної системи має вигляд:

Функція W(ejT,) являє собою комплексний спектр дискретної передатної функції розімкнутої імпульсної системи W(z,) і повністю характеризує частотні властивості розімкнутої системи, тобто дозволяє обчислити сталу реакцію системи на ґратчастий гармонійний вплив g[n] = g_m sin[nТ] довільної частоти .

Як і для звичайних лінійних систем, розглядають амплітудні, фазові, речовинні й мниму частотну характеристики:

A() = mod W(e ^j^^T,);

() = arg W(e^j^^T,);

U() = Re W(e^j^^T,);

V() = Im W(e ^j^^T,).

Властивості частотних характеристик імпульсних систем .

1. Крім залежності від частоти ( характеристики залежать від відносного часу σ. Графічно це виражається серією кривих для різних значень σ. Звичайно досить однієї характеристики при σ = 0.

2. Відповідно до періодичності частотної передатної функції амплітудно-фазова частотна характеристика W(e ^j^^T) повністю визначається своїми значеннями в інтервалі  Т  Т.

3. Тому що речовинна частотна характеристика є парною функцією, а мнима - непарної, то досить розглядати інтервал частот 0≤ ω≤ π/Т.

4. У крайніх крапках інтервалу 0≤ ω ≤π/Т амплітудно-фазова частотна характеристика приймає речовинні значення.

5. При зменшенні періоду дискретності T, тобто при збільшенні частоти квантування 0 = 2/Т, частотні характеристики імпульсних систем наближаються до частотних характеристик безперервних систем. При цьому частотний інтервал 0≤ ω≤ π/Т розтягується на всю вісь ω при T → 0.

Амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої імпульсної системи W(ejT) будується по крапках в інтервалі частот 0  Т.

Частотні характеристики імпульсних систем, як треба з (15.77), описуються трансцендентними вираженнями. Їхнє визначення зв'язане зі складними розрахунками, тому на практиці застосовуються частотні характеристики щодо абсолютної псевдо частоти . Перехід до псевдо частоти заснований на переході від z-перетворення до w-перетворення за допомогою підстановки

c наступною заміною комплексної змінної w на абсолютну псевдо частоту

w = jT/2. (15.79)

При цьому реальна частота ω і псевдо частота λ зв'язані співвідношенням

Зручність псевдо частоти полягає в тім, що, як треба з (15.80), на частотах де виконується умова ωT < 2, вона приблизно дорівнює кутовій частоті, тобто λ ≈ ω. Неважко переконатися, що при зміні частоти від –π/ Т до +π/ Т псевдо частота приймає значення -∞ до +∞.

Для переходу від дискретної передатної функції розімкнутої імпульсної системи W(z) до частотної характеристики W(jλ) варто зробити заміну

тобто

Отримане рівняння може бути використане для побудови логарифмічних частотних характеристик.

Наближений спосіб побудови ЛЧХ імпульсних систем. Для зручності логарифмічні частотні характеристики будуються окремо для областей низьких і високих частот. Границею, що розділяє частотну область на низько частотну і високочастотну, служить частота зрізу з у припущенні, що

де Т - період дискретності.

Останню умову необхідно виконувати внаслідок вимог, пропонованих до забезпечення запасу стійкості й точності роботи системи, і погодиться з теоремою Котельникова-Шеннона.

Розглянемо методику побудови ЛЧХ на прикладі АИС, що включає в себе екстраполятор нульового порядку й безперервну частину з передатною функцією:

При побудові вводять наступні припущення.

1. Величина, зворотна періоду дискретності T, більше половини частоти зрізу _з, тобто _з< 2/T.

2. Перехід осі нуля децибел асимптотичної ЛАХ безперервної частини відбувається при негативному нахилі -20 дб/дек.

3. Постійним часу _j (j = 1, 2, ..., m) відповідають частоти, що сполучають, менші, чим частота зрізу.

4. Є L (L< n) постійних часу T_i (i = 1, 2, ..., l), яким відповідають частоти, що сполучають, менші, чим частота зрізу.

При прийнятих допущеннях для області низьких частот передатну функцію безперервної частини можна представити у вигляді

а для області високих частот

По вираженнях (15.85) і (15.86) на підставі (15.64) і (15.82) одержимо частотні характеристики розімкнутої імпульсної системи для області низьких частот

і для області високих частот

де

Порівняння вираження (15.87) з (15.85) показує, що в низькочастотній області частотна передатна функція імпульсної системи може бути отримана з передатної функції безперервної частини підстановкою s = j і множенням на додатковий множник (1  jT/2). Псевдо частота  у цій області практично збігається з кутовою частотою . Впливом додаткового множника при побудові частотних характеристик у низькочастотній області можна зневажити, тому що _з< 2/T.

Таким чином, в області низьких частот частотні характеристики імпульсної системи збігаються із частотними характеристиками її безперервної частини.

Початок логарифмічних частотних характеристик у високочастотній області (15.88) зливається з кінцем частотних характеристик, побудованих у низькочастотній області. На підставі (15.87) і (15.88) можна записати вираження результуючої частотної передатної функції розімкнутої АІС

де

Це вираження являє собою добуток елементарних типових співмножників, тому його легко використовувати для побудови логарифмічних частотних характеристик імпульсних систем. Результуюче фазове зрушення визначається як

Приклад.Побудувати логарифмічні частотні характеристики АИС із екстраполятором нульового порядку й періодом дискретності імпульсного елемента T = 4с, передатна функція безперервної частини якої

Рішення. Вибираємо частоту зрізу _з< 2/T < 0.5 c^-1. Відповідно до заданого постійними часу визначаємо частоти, що сполучають:

_cопр1=1/25=0.04 c^-1 - низькочастотний діапазон;

_cопр2=1/0.5=2 c^-1 - високочастотний діапазон;

_cопр3=1/0.3=3.33 c^-1 - високочастотний діапазон.

Отже, одержуємо:

де T_= Т₁+Т₂=0.8;

_сопр1=1/25=0.04;

_сопр2=1/2=0.5;

_сопр3=1/1.2=0.8.

Асимптотичні ЛАХ і ЛФХ, що відповідають отриманим вираженням, представлені на рис. 15.12.

Рис. 15.12. ЛЧХ імпульсної системи

Содержание