logo
Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

11.3.3 Метод припасовування

Метод припасовування знайшов своє застосування при побудові фазових портретів нелінійних систем, які можуть бути представлені у вигляді лінійної і нелінійної частин (рис. 11.9), причому лінійна частина є системою другого порядку, а нелінійна частина характеризується кусочно-лінійною статичною характеристикою.

Рис. 11.9 Структурна схема нелінійної системи.

Згідно цьому методу фазова траєкторія будується по частинах, кожній з яких відповідає лінійна ділянка статичної характеристики. На такій даній ділянці система лінійна і її рішення може бути знайдене безпосереднім інтегруванням рівняння для фазової траекторії цієї ділянки. Інтегрування рівняння при побудові фазової траєкторії проводиться до тих пір, поки остання не вийде на межу наступної ділянки. Значення фазових координат в кінці кожної ділянки фазової траєкторії є початковими умовами для вирішення рівняння на наступній ділянці. В цьому випадку говорять, що початкові умови припасовуваються, тобто кінець попередньої ділянки фазової траєкторії є початком наступної. Межа між ділянками називається лінією перемикання.

Таким чином, побудова фазового портрета методом припасовування проводиться в наступній послідовності:

1) вибираються або задаються початкові умови;

2) інтегрується система лінійних рівнянь для тієї лінійної ділянки, на яку потрапили початкові умови, до моменту виходу на межу наступної ділянки;

3) проводиться припасовування початкових умов.

Приклад 11.3 Побудувати фазовий портрет нелінійної системи методом припасовування. Нелінійна система описується наступною системою диференціальних рівнянь

Початкові умови: у1(0) = у10 = -1; у2(0) = у20 = -1.

Статична характеристика нелінійного елементу є кусочно-лінійною функцією, що має дві ділянки лінійності. У зв'язку з цим система диференціальних рівнянь для першої і другої ділянок відповідно матиме вигляд

(*) і (**)

Фазова площина розбивається на ділянки, на кожній з яких рух зображуючої точки описується одним з лінійних рівнянь (*) або (**). Межею між ділянками є лінія ABCD - лінія перемикання (рис. 11.10).

Рис. 11.10 Побудова фазового портету методом припасовування.

За заданих початкових умов зображуюча точка знаходиться на вході в першу ділянку, отже, перша ділянка фазової траєкторії М0М1 знаходиться інтегруванням рівняння (*) за початкових умов у10, у20. Поділивши друге рівняння на перше, отримують

,

звідки рівняння фазової траєкторії

,

де С0 = -3/2.

Кінцева точка першої ділянки знаходиться як точка перетину з лінією перемикання АВ, на якій у1 = 1, отже з у22/2 - 3/2 = 1, у2=2,23. Координати точки М1 (1; 2,23) є початковими умовами для вирішення системи рівнянь (**), що описує другу ділянку фазової траєкторії М1М2, тобто так само як для першої ділянки, для другої ділянки отримують

,

звідки

+ .

Координати точки М2 знаходяться як координати точки перетину фазової траєкторії другої ділянки з лінією перемикання

у22/2 – 3,5 = 1, у1 = -1 у2= -3.

Продовжуючи аналогічні міркування, знаходять решту всіх ділянок фазової траєкторії. Фазовий портрет системи приведений на рис. 11.10, він є ділянками парабол з вершинами, розташованими на осі у1і припасовуванними один до одного на лінії перемикання.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4