13.2.1 Критерій Бендіксона

У ряді випадків можна скористатися критеріями, за допомогою яких вдається показати, що у фазовому портреті даної системи немає замкнутих фазових траєкторій, тобто в даній системі автоколивання відсутні. Одним з таких критеріїв відсутності замкнутих фазових траєкторій, що дають достатні умови відсутності автоколивань, є критерій Бендіксона, який найбільш простий для практичного застосування.

Хай дана система описується системою диференціальних рівнянь другого порядку

(13.1)

де F1(y1, у2), F2(y1, y2) - нелінійні функції аналітичні на всій фазовій площині.

Критерій Бендіксона формулюється таким чином: якщо в деякій області на фазовій площині вираз

знакопостійний, то в цій області не існує замкнутих фазових траєкторій.

У тих випадках, коли критерій Бендіксона не виконується або не може бути використаний, наприклад, функції F1(y1, у2), F2(y1, y2)не є аналітичними, застосовуються інші методи для визначення автоколивальних режимів.

Перш ніж розглянути інші методи знаходження автоколивань, приведемо наступний приклад на використання критерію Бендіксона.

Приклад 13.1 Хай хімічний реактор ідеального перемішування, в якому протікає хімічна реакція типу А→2В, описується наступними рівняннями

де у1, у2 - поточні концентрації реагентів в реакторі;

у10, у20 - початкові вхідні концентрації реагентів;

λ -витрата;

t - час.

Використовуючи критерій Бендіксона, потрібно відповісти на питання: будуть чи ні автоколивання в хімічному реакторі.

Відповідно до цього критерію знаходиться вираз

Очевидно, що відповідно до фізичного сенсу у1 ≥ 0, у2 ≥0, тобто концентрації не можуть бути негативними, а також λ > 0, останній вираз є знакопостійною негативною функцією. Отже, згідно критерію Бендіксона в даній системі - хімічному реакторі автоколивання існувати не можуть.