16.2. Завдання синтезу оптимальних систем

І МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ОБ'ЄКТІВ КЕРУВАННЯ

Рішеннязавдання синтезу оптимальної системи полягає в розробці системи керування, що відповідає заданим вимогам, тобто в створенні системи, що реалізує обраний критерій оптимальності. Залежно від обсягувідомостей про структуру системи керування завдання синтезу ставиться в одній із двох наступних постановок.

Перша постановка охоплює випадки, коли структура системи відома. У таких випадках об'єкт і регулятор можуть бути описані відповідними передатними функціями, а завдання синтезу зводиться до визначення оптимальних значень числових параметрів всіх елементів системи, тобто таких параметрів, які забезпечують реалізацію обраного критерію оптимальності.

У другій постановці завдання синтезу ставиться при невідомій структурі системи. У цьому випадку потрібно визначити таку структуру й такі параметри системи, які забезпечать систему, оптимальну за прийнятим критерієм якості. В інженерній практиці завдання синтезу в такій постановці зустрічається рідко. Найчастіше об'єкт керування або заданий як фізичний пристрій, або описаний математично, і завдання синтезу зводиться до синтезу оптимального регулятора. Варто підкреслити, що й у цьому випадку необхідний системний підхід до синтезу системи оптимального керування. Суть такого підходу полягає в тім, що при синтезі регулятора розглядається вся система (регулятор і об'єкт) як єдине ціле.

На початковій стадії синтезу оптимального регулятора завдання зводиться до його аналітичного конструювання, тобто до визначення його математичного опису. При цьому ту саму математичну модель регулятора можна реалізувати різними фізичними пристроями. Вибір конкретної фізичної реалізації аналітично певного регулятора здійснюється з урахуванням умов роботи конкретної системи автоматичного керування. Таким чином, завдання синтезу оптимального регулятора неоднозначні й може бути вирішена різними шляхами.

При синтезі системи оптимального керуваннядосить важливе створення моделі об'єкта, максимально адекватної реальному об'єкту. У теорії керування так само, як в інших сучасних галузях науки, основними видами моделей об'єктів є математичні моделі - рівняння статики й динаміки об'єктів.

При рішеннізавдань синтезу оптимальної системи єдиною математичною моделлю об'єктів керування звичайно є модель у формі рівнянь стану. Під станом системи автоматичного керуванняв кожний момент часу розуміється мінімальний набір змінних (змінністани), що містить кількість інформації, достатнє для визначення координат системи в поточному й майбутньому станах системи.

Вихідні рівняння об'єкта звичайно нелінійні. Для приведення їх до форми рівнянь станів широко використовуються методи лінійних перетворень вихідних рівнянь.

Для характеристики об'єкта керуваннявведемо наступні поняття:

Х{х1, х2,..., хn) — вектор стану об'єкта;

Y{y1, y2,...., ym} — вектор вихідних величин;

U{u1,u2,…,ur}—вектор керування, що прикладається до об'єкта;

F{f1,f2,…,fl}—вектор збурювання;

X(t0) = Хо— вектор початкового стану об'єкта.

Завдання оптимізації в такому випадку зводяться до задоволення функціонала якості J[X,U,F] при обмеженнях X де — область припустимих значень координат стану об'єкта; — область припустимих значень керувань.

Широкий клас об'єктів оптимальних систем у результаті лінеаризації вихідних рівнянь може бути описаний рівняннями:

f [X,U,F(t)]; Y = φ(X,U); X(t0) =X0 ;

Наприклад,

Y=DX+EU; X(t0)=X0;

де A, B, З, D, E - постійні коефіцієнти.

У теорії оптимального керування широко використовуються наступні математичні методи: принцип максимуму; динамічного програмування; варіаційного обчислення; математичного програмування. Кожний з перерахованих методів має свої особливості й, отже, свою область застосування.

Принцип максимуму дозволяє порівняно легко врахувати обмеження на керуючі впливи, підводимі до об'єкта керування. Метод найбільш ефективний при синтезі систем, оптимальних по швидкодії. Однак реалізація методу навіть із використанням ЕОМ значно утруднена.

Метод динамічного програмування володіє, більшими можливостями. Однак для систем високого порядку (вище четвертого) використання методу доситьважко. При декількохзміннікерування реалізація методу динамічного програмування на ЕОМ вимагає обсягів пам'яті, що перевищують можливості сучасних машин.

Варіаційне обчислення застосовується при відсутності обмежень на змінністани й на зміннікерування. Одержання чисельного рішення на базі методів варіаційного обчислення важко. Метод використовується, як правило, для деяких досить простих випадків.

Методи математичного програмування (лінійного, нелінійного й ін.) широко застосовуються для рішеннязавдань оптимального керування як в автоматичних, так і в автоматизованих системах. Загальна ідея методів полягає у відшуканні екстремуму функції в просторі багатьох змінних при обмеженнях у вигляді системи рівностей і нерівностей. Методи дозволяють знайти чисельне рішення широкого кола завдань оптимального керування.

Достоїнствами методів математичного програмування є можливість порівняно просто враховувати обмеження на керування й змінністани, а також звичайно припустимі вимоги до обсягу пам'яті.