4.4 Зв'язок диференціального рівняння з частотними характеристиками

Рішення диференціального рівняння (3.36, а) має вигляд

де – вимушений рух, що описується часним рішенням; – вільні рухи, що описуються загальним рішенням однорідного рівняння.

Для встановлення зв'язку між АФХ і диференціальним рівнянням розглядаються вимушені рухи при вхідній гармонійній дії вигляду: яке можна представити по формулі Ейлера ірозглядати як суму вхідних сигналів, тобто

В цьому випадку часне рішення диференціального рівняння через принцип суперпозиції також представляється у вигляді суми

де і визначаються відповідно виглядом і . У зв'язку з цим рішення шукатимуться у вигляді

де , – деякі невідомі функції, не залежні від що підлягають визначенню.

Для знаходження диференціюється раз, а − раз і підставляються в початкове диференціальне рівняння, в результаті отримують

Отриманий вираз (4.15) повністю співпадає з отриманим раніше виразом (4.8) для АФХ і ще раз підтверджує той факт, що амплітудно-фазова характеристика може бути отримана простій заміною змінною на .

Функція виходить аналогічним чином по формулі (4.15) заміною на . Записуючи отримані вирази для комплексних функцій і у показовій формі

часне вирішення рівняння (4.7) перетвориться до вигляду

Порівняння що описує сталі коливання на виході об'єкту, з вхідним сигналом показує, що відношення амплітуд вихідних і вхідних коливань дорівнює , а це якраз і є амплітудно-частотна характеристика; різниця фаз − фазочастотна характеристика.

Із зміною частоти коливань амплітудно- і фазочастотні характеристики змінюються по певному закону залежно від фізичних властивостей об'єкту. Проте всі реальні фізичні системи володіють однією загальною властивістю, яка полягає в тому, що при збільшенні частоти вхідних коливань вище деякої межі (частоти зрізу) об'єкт практично не реагує на ці коливання, тобто амплітуда вихідних коливань дорівнює нулю. Таким чином, для будь-якого реального об'єкту