12.6 Методи визначення якості регулювання нелінійних систем

Поблизу межі стійкості якість процесу регулювання погіршується, ця обставина дає вважати, що будь-який критерій стійкості може послужити основою для вироблення тих або інших оцінок якості процесу.

У лінійних системах всі критерії стійкості встановлюють нерівність, що дає умови знаходження всіх коренів характеристичного рівняння зліва від уявної осі. Як відомо, одним з таких показників є ступінь стійкості, але на практиці якість оцінюється за іншими прямими показниками якості, з якими встановлюється зв'язок через ступінь стійкості.

За допомогою критерію Попова поняття ступеня стійкості може бути використане і для нелінійних систем.

Говорять, що нелінійна система володіє загасанням або ступенем стійкості δ0 не менше заданої, якщо для відхилення процесу ξ(t) від вимушеного або відхилення координат від положення рівноваги при будь-яких t залишається справедливою нерівність

де М - const.

Щоб нерівність (12.47) могла мати місце при будь-яких t, необхідно, щоб

Якщо ця межа буде рівною нулю, тобто

,

то це означає, що

швидше, ніж

По аналогії з лінійними системами для оцінки якості нелінійної системи можна застосувати інтегральну квадратичну оцінку

де у - вихідна координата нелінійного елементу.

У загальному вигляді визначити або оцінити величину інтеграла (12.49) не представляється можливим. Але, якщо накласти деякі обмеження на клас нелінійних функцій F(x), то оцінка величини інтеграла стає можливою.

Додаткове обмеження, що накладається на функцію F(x), зводиться до наступного.

Розглядається клас функцій, що задовольняють умові

Дотична, проведена з початку координат F(x), має кутовий коефіцієнт k0, причому

k0<k2, і крива F(x) лежить нижче за дотичну в усіх точках, окрім точки дотику (рис. 12.8).

Рис. 12.8 Клас нелінійних функції

Для введення оцінки вибирається проміжний параметр k1, ув'язнений між k0 і k2:

причому

Оцінка:

де fн - реакція лінійної частини на збурення початкових умов;

- перетворена по Фур’є;

α - вибирається як можна меншою, в крайньому разі це може бути кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної з точки (-1/k0, і0) до видозміненої частотної характеристики системи.

Таким чином, оцінка (12.51) зводиться до виразу, який завжди може бути визначений шляхом інтегрування графіка функції F(x) в заданих межах і обчислення інтеграла

Оцінка (12.51) дає задовільні результати, якщо k1 достатньо відрізняється від k0. Якщо ці величини близькі, користуватися оцінкою не має сенсу.