6.8.4 Застосування критеріїв для дослідження стійкості систем
Порівняння розглянутих критеріїв стійкості дозволяє зробити наступний вивід щодо їх застосовності.
Критерій стійкості Гурвіця доцільно застосовувати, коли характеристичне рівняння має ступінь не вище чотирьох .
|
Рис. 6.35 Годограф Міхайлова для стійких систем 3-го порядку |
Критерій стійкості Раусу дає швидку відповідь при чисельно заданих коефіцієнтах, їм доцільно користуватися, коли .
Критерій стійкості Міхайлова доцільно застосовувати при дослідженні складних багатоконтурних систем, коли необхідно з'ясувати вплив зміни структури системи і засобів стабілізації на її стійкість.
Критерій стійкості Найквіста доцільно застосовувати при дослідженні складних систем.
Цей критерій виявляється єдино застосовним, коли частина або всі характеристики окремих елементів системи задані експериментально, застосовний при аналізі систем, що описуються аналітичними функціями.
Крім свого прямого призначення частотні критерії стійкості можуть бути використані для оцінки впливів параметрів системи на її стійкість.
На рис. 6.33зображений годограф Міхайлова для стійкої системи. Відрізок ОМ0рівний значенню вектора (6.35) при і рівний значенню коефіцієнта характеристичного рівняння.
Можна показати, що коефіцієнт підсилення системи впливає тільки на вільний член характеристичного рівняння. Тому при його збільшенні збільшуватиметься тільки коефіцієнт і в цьому випадку всі вектори отримують однаковий додатний дійсний приріст, і вся крива Міхайлова без деформації пересувається направо, наприклад, з положення 1 в положення 2 (рис. 6.33). Якщо збільшувати коефіцієнт підсилення і далі, то при деякому його граничному значенні годограф Міхайлова пройде через початок координат, і система вийде на межу стійкості. Подальше збільшення коефіцієнта підсилення зробить систему нестійкої.
Тут можливо і зворотне рішення задачі, а саме, знаходження граничного коефіцієнта підсилення. Відрізок (рис. 6.33) відповідає граничному значенню коефіцієнта значення якого можна відлічити і по первинному положенню кривої Міхайлова – відрізок .
Оцінити вплив параметрів системи на її стійкість, можна і користуючись критерієм Найквіста. Як приклад нижче розглянута система третього порядку з трьома інерційними ланками (рис. 6.34), у якій
|
Рис. 6.34 Структурна схема системи з трьома ланками |
Амплітудно-фазові характеристики розімкненої системи для різних значень коефіцієнта підсилення зображені на рис. 6.35, а.
|
Рис. 6.35 АФХ статичної системи третього порядку: а – для різних коефіцієнтів посилення; б – викреслювання зворотних змін одиниці масштабу |
Всі ці характеристики можуть бути отримані з "первинної" шляхом зміни масштабу, причому зручніше не викреслювати характеристику з новим масштабом, а змінювати масштаб зворотною зміною одиниці масштабу. В цьому випадку досить викреслювати одну АФХ раз і назавжди і зменшувати розмір відрізання OА, рівного одиниці, в стільки ж раз, в скільки збільшується коефіцієнт підсилення. При цьому точка А переміщатиметься управо (рис. 6.35, б). При малому значенні коефіцієнта підсиленняkсистеми масштаб одиниці ОА великий, і точка А знаходиться в положенніА1. В цьому випадку АФХ розімкненої системи не охоплює точку А1, і, отже, замкнута система стійка. При збільшенні коефіцієнта підсиленняk масштаб одиниці зменшується, критична точка рухається направо і при займає положення A2, система знаходиться на межі стійкості.
При критична точка продовжує переміщатися направо, займає положення А3, і система стає нестійкою.
Вплив коефіцієнта підсилення на стійкість, використовуючи критерій Найквіста, можна прослідкувати і для систем високого порядку, зокрема, з "дзьобоподібними" характеристиками (рис. 6.36, а).
В цьому випадку при малому значенні коефіцієнта підсилення критична точка знаходиться в положенніА1, і замкнута система стійка. Збільшення коефіцієнта підсилення пересуває точку в положення А2, , і система виходить на межу стійкості. Подальше збільшення коефіцієнта підсилення приводить систему до нестійкості, оскільки критична точка займає положенняА3і охоплюється АФХ. Положення А4, у якому є межею стійкості, а положенняА5критичної точки є стійким, оскільки не охоплюється АФХ. Таким чином, можна зробити наступний вивід.
Система стійка при малих значеннях коефіцієнта підсилення і при достатньо великих має дві межі стійкості при і нестійка при
Аналіз амплітудно-фазової характеристики розімкненої системи, зображеної на рис. 6.36, б, показує, що система має три граничні значення коефіцієнта підсилення А2, А4, А6і межі стійкості. При значеннях коефіцієнта підсилення (точки А1, А5), а при значеннях система нестійка (точка А3, А7).
|
Рис. 6.36 АФХ системи високого порядку: а – "дзьобоподібна" АФХ першого порядку; б – "дзьобоподібна" АФХ другого порядку |
|
Рис. 6.37 АФХ простих систем: а – АФХ систем першого порядку; б – АФХ систем другого порядку |
Застосування критерію Найквіста до дослідження простіших систем- систем першого і другого порядку показує, що якщо розімкнена система є системою першого порядку без запізнювання, то як би не змінювалися параметри системи, АФХ розімкненої системи завжди розташовуватиметься в четвертому квадранті (рис. 6.37, а) і, отже, замкнута система завжди буде стійкою.
Для розімкнених систем другого порядку АФХ розташовується в нижній напівплощині і, отже, як би не змінювалися її параметри, АФХ ніколи не охоплює точку і досліджувана замкнута система завжди буде стійкою.
Також за допомогою критеріїв стійкості Міхайлова і Найквіста можуть бути вирішені питання стабілізації системи. Зокрема, одним із способів стабілізації є введення гнучкого від’ємного зв'язку.
- Основи теорії автоматичного управління
- Частина 1. Лінійні системи
- 1. Загальна характеристика об'єктів і систем автоматичного керування
- 1.1 Короткі історичні відомості
- 1.2 Основні поняття і визначення
- 1.3 Принципи регулювання
- 1.4 Приклади систем автоматичного регулювання в хімічній технології
- 1.5 Класифікація систем автоматичного керування
- 1.6 Тренувальні завдання
- 1.7 Тести
- 2 Регулярні сигнали і їх характеристики
- 2.1 Визначення регулярного сигналу
- 2.2 Основні типи регулярних сигналів. Періодичні і безперервні сигнали
- Перетворення Фурье, його основні властивості
- Спектри сигналів
- 2.5 Розподіл енергії в спектрах сигналів
- Практична ширина спектру і спотворення сигналів
- 2.7 Представлення сигналів
- 2.8 Сигнали. Їх види
- 2.9 Тренувальні завдання
- 2.10 Тести
- 3.Математичний опис автоматичних систем
- 3.1 Основні способи математичного опису. Рівняння руху.
- 3.2 Приклади рівнянь об'єктів керування
- 3.2.1 Гідравлічний резервуар
- 3.2.2 Електрична ємкість
- 3.2.3 Хімічний реактор повного перемішування
- 3.3 Визначення лінійної стаціонарної системи. Принцип суперпозиції
- 3.4 Динамічне поводження лінійних систем
- 3.5 Динамічні процеси в системах
- 3.6 Перехідна і вагова функції
- 3.6.1 Перехідна функція
- 3.6.2 Вагова функція
- 3.7 Інтеграл Дюамеля
- Перетворення Лапласа
- Визначення перетворення Лапласа
- Властивості перетворення Лапласа
- Рішення диференціальних рівнянь
- Розбиття на прості дроби
- Передаточна функція
- 3.10 Тренувальні завдання
- 3.11 Тести
- 4 Частотний метод дослідження лінійних систем
- 4.1 Елементи теорії функції комплексного змінного
- 4.2 Частотні характеристики
- 4.3 Зв'язок перетворень Лапласа і Фур’є
- 4.4 Зв'язок диференціального рівняння з частотними характеристиками
- 4.5 Фізичний сенс частотних характеристик
- 4.6 Мінімально-фазові системи
- 4.7 Поняття про логарифмічні частотні характеристики
- 4.8 Взаємозв'язок динамічних характеристик
- 4.9 Тренувальні завдання
- 4.10 Тести
- 5 Структурний аналіз лінійних систем
- 5.1 Ланка направленої дії
- 5.2 Типові динамічні ланки
- 5.2.1 Підсилювальна ланка
- 5.2.2 Інтегруюча ланка
- 5.2.6 Ланка чистого запізнювання
- 5.2.7 Аперіодична ланка першого порядку
- 5.2.8Ланка щоінерційно-форсуює
- 5.2.9 Аперіодична ланка другого порядку
- 5.2.10 Коливальна ланка
- 5.2.11 Особливі ланки
- 5.3 Основні способи з'єднання ланок
- 5.3.1 Структурні схеми
- 5.3.2 Паралельне з'єднання ланок
- 5.3.3 Послідовне з'єднання ланок
- 5.3.4 З'єднання із зворотним зв'язком
- 5.3.5 Передаточні функції замкнутої системи
- 5.3.6 Правила перетворення структурних схем
- 5.3.7 Формула мейсона
- 5.4 Типові закони регулювання
- 5.4.1 Пропорційний закон регулювання
- 5.4.2 Інтегральний закон регулювання
- 5.4.3 Диференційний закон регулювання
- 5.4.4 Пропорційно-диференційний закон регулювання
- 5.4.5 Пропорційно-інтегральний закон регулювання
- 5.4.6 Пропорційно-інтегрально-диференційний закон регулювання
- 5.5 Тренувальні завдання
- 5.6 Тести
- 6 Стійкість лінійних систем
- 6.1 Поняття стійкості і її визначення
- 6.2 Стійкість лінійного диференціального рівняння з постійнимикоефіцієнтами
- 6.3 Зображення руху у фазовому просторі
- 6.3.1 Поняття фазового простору
- 6.3.2 Фазові портрети лінійних систем другого порядку
- 6.4 Поняття стійкості руху
- 6.5 Основні види стійкості
- 6.5.1 Орбітальна стійкість
- 6.5.2 Стійкість по ляпунову
- 6.5.3 Асимптотична стійкість
- 6.6 Необхідна умова стійкості
- 6.7 Алгебраїчні критерії стійкості
- 6.7.1 Критерій стійкості рауса
- 6.7.2 Критерій стійкості гурвіця
- 6.7.3 Критерій стійкості л’єнара-шипаро
- 6.7.4 Стійкість і стала похибка
- 6.7.5 Область стійкості
- 6.8 Частотні критерії стійкості
- 6.8.1 Принцип аргументу
- 6.8.2 Критерій міхайлова
- 6.8.3 Критерій найквіста
- 6.8.4 Застосування критеріїв для дослідження стійкості систем
- 6.8.5 Аналіз стійкості по логарифмічних частотних характеристиках
- 6.9Тренувальні завдання
- 6.10 Тести
- 7. Синтез стійких систем з необхідним запасом стійкості
- 7.1 Стійкість ланок і систем. Запас стійкості.
- 7.2 Межі стійкості систем
- 7.2.1 Межа стійкості для систем з пі-регулятором
- 7.2.2 Межа стійкості для систем з пі-регулятором
- 7.2.3 Межі стійкості для системи з і-регулятором
- 7.3 Запас стійкості і його оцінка
- 7.3.1 Кореневі методи оцінки запасу стійкості
- 7.3.2 Частотні методи оцінки запасу стійкості
- 7.4 Розширені частотні характеристики
- 7.5 Аналіз систем на запас стійкості
- 7.6 Синтез систем з необхідним запасом стійкості
- Система с п-регулятором
- 7.6.2 Система с і-регулятором
- 7.6.3 Система с пі-регулятором
- 7.6.4 Система з пд-регулятором
- 7.7 Використання логарифмічних частотних характеристик для забезпечення стійкості і заданого запасу стійкості
- 7.8 Структурно-стійкі системи
- 7.9 Малі параметри систем і їх вплив на стійкість
- 7.10 Використання корегуючих пристроїв для забезпечення стійкості і запасу стійкості
- 7.10.1 Послідовна корекція
- 7.10.2 Паралельна корекція
- 7.11 Тренувальні завдання
- 7.12 Тести
- 8.Якість процесів регулювання і методи її аналіза
- 8.1 Показники якості регулювання
- 8.1.1 Прямі показники якості регулювання
- 8.1.2 Непрямі показники якості регулювання
- 8.1.3 Інтегральні критерії якості регулювання
- 8.1.3.1 Лінійний інтегральний критерій
- 8.1.3.2 Модульний інтегральний критерій
- Інтегральний квадратичний критерій
- 8.2 Частотні методи аналізу якості регулювання
- 8.2.1 Залежність між перехідною і частотними характеристиками
- 8.2.2 Властивості дійсно-частотних характеристик і відповідних їмперехідних процесів
- 8.3 Поняття про чутливість систем автоматичного регулювання
- Тренувальні завдання
- 8.5 Тести
- 9 Методи розрахунку настроювальних параметрів для сар
- 9.1 Постановка задачі
- 9.2 Вибір оптимальних настройок регуляторів методом незгасаючих коливань
- 9.3 Алгоритм розрахунку області настройок типових регуляторів
- 9.4 Графоаналітичний метод розрахунку
- 9.5 Тренувальні завдання
- 9.6 Тести
- Частина 2 нелінійні системи
- 10 Методи лінеаризації характеристик нелінійних систем
- 10.1 Особливості нелінійних систем
- 10.2 Типові нелінійні елементи систем керування
- 10.3 Методи лінеаризації
- 10.3.1 Розкладання в ряд Тейлора
- 10.3.2 Гармонійна лінеаризація
- 10.3.3 Вібраційна лінеаризація
- 10.4 Тренувальні завдання
- 10.5 Тести
- 11 Дослідження нелінійних систем методом фазового простору
- 11.1 Загальні відомості про метод фазового простору
- Фазові портрети нелінійних систем другого порядку
- Методи побудови фазових портретів
- 11.3.1 Інтегрування рівнянь фазових траєкторій
- 11.3.2 Метод ізоклін
- 11.3.3 Метод припасовування
- 11.3.4 Метод зшивання
- 11.4 Тренувальні завдання
- 11.5 Тести
- 12 Аналіз нелінійних систем на стійкість і якість
- Основні види стійкості нелінійних систем
- Методи дослідження стійкості нелінійних систем
- 12.2.1 Перший метод Ляпунова
- 12.2.2 Другий метод Ляпунова
- 12.2.2.1 Поняття про знаковизначенні, знакопостійні і знакозмінні функції
- 12.2.2.2 ФункціяЛяпунова
- 12.2.2.3 Теореми Ляпунова
- 12.3 Методи побудови функції Ляпунова
- 12.3.1 Функція Ляпунова у вигляді квадратичних форм
- 12.3.2 Побудова функції Ляпунова методом г. Сеге
- 12.3.3 Побудова функції Ляпунова методом д. Шульца
- 12.3.4 Побудова функції Ляпунова методом Лур’є – Постникова
- 12.4 Приклади побудови функцій Ляпунова
- 12.5 Абсолютна стійкость по критерію Попова
- 12.6 Методи визначення якості регулювання нелінійних систем
- 12.7 Тренувальні завдання
- 12.8 Тести
- 13 Автоколивання в нелінійних системах
- 13.1 Режим автоколивань в нелінійних системах
- 13.2 Методи дослідження автоколивань в нелінійних системах
- 13.2.1 Критерій Бендіксона
- 13.2.2 Метод гармонійного балансу
- 13.3 Тренувальні завдання
- 13.4 Тести
- 14.1. Опис систем у просторі станів
- 14.2. Структура рішення рівнянь змінні стану
- 14.3. Характеристики систем у просторі станів
- 14.4. Нормальна форма рівнянь у просторі станів
- 14.5. Керування по стану. Системи керування
- 14.6. Оцінювання координат стану систем
- 14.7. Прямий кореневий метод синтезу систем керування
- 14.8 Тренувальні завдання
- 14.9 Тести
- 15. Дискретні системи автоматичного керування
- 15.1. Загальні відомості
- 15.2. Структура й класифікація імпульсних систем
- 15.3. Математичний апарат дослідження дискретних систем
- 15.4. Передатні функції розімкнутих імпульсних систем
- 15.5 Структурні схеми і передатні функції
- 15.6. Частотні характеристики імпульсних систем
- 15.7 Стійкість імпульсних систем
- 15.8. Перехідні процеси в імпульсних системах
- Перехідний процес
- 15.9 Точність і корекція імпульсних систем
- 15.10. Опис дискретних систем у просторі станів
- 15.11 Тренувальні завдання
- 15.12 Тести
- 16 Оптимальне керування динамічними системами
- 16.1. Основні поняття систем оптимального керування
- 16.2. Завдання синтезу оптимальних систем
- 16.3. Самонастроювальні і динамічні системи, що самонавчаються, оптимального керування
- 16.4 Тести
- Загальна характеристика об'єктів і систем автоматичного керування.
- 1.1 Короткі історичні відомості 3
- Регулярні сигнали і їхні характеристики
- Математичний опис автоматичних систем.
- Частотний метод дослідження лінійних систем
- Структурний аналіз лінійних систем
- 6. Стійкість лінійних систем
- 7. Синтез стійких систем з необхідним запасом стійкості
- 8. Якість процесів регулювання і методи її аналізу
- 9. Методи розрахунку настроювальних параметрів для сар
- 10.Методи лінеаризації характеристик нелінійних систем
- 11.Дослідження нелінійних систем методом фазового простору
- 14. Аналіз і синтез сау у просторі станів
- 15. Дискретні системи автоматичного керування
- 16. Оптимальне керування динамічними системами