6.6 Необхідна умова стійкості

В п. 6.2 отримана необхідна і достатня умова стійкості – від’ємність дійсних частин коренів характеристичного рівняння або, що ідентично, ці корені повинні розташовуватися зліва від уявної осі.

У цих формулюваннях викладена не тільки ознака стійкості, але і дан, по суті, метод дослідження стійкості: необхідно знайти корені характеристичного рівняння і перевірити, чи лежать вони в лівій напівплощині чи ні. Проте такий метод абсолютно неадекватний завданню дослідження через наступні причини.

1 Завдання визначення коренів характеристичного рівняння просто вирішується тільки для рівнянь першого і другого порядку; для всіх інших випадків доводиться користуватися різними наближеними, порівняно громіздкими методами.

2 Для визначення стійкості необхідно знати тільки знаки коренів, тому визначення кореня представляє непотрібну трудомістку роботу. Тим часом не отримують загальних формул, по яких можна було б судити про вплив коефіцієнтів рівнянь на стійкість системи, але саме цей вплив, в першу чергу, і цікавить проектувальника системи автоматичного регулювання.

Завдання дослідження часто ставиться таким чином, що необхідно визначити коефіцієнти рівнянь, при яких система була б стійка.

У розпорядженні дослідника є методи, системи, що дозволяють судити про стійкість, за так званими умовами стійкості, не вирішуючи характеристичного рівняння і не знаходячи його корені. Першою такою умовою, яку слід розглянути, є необхідна умова стійкості.

Нехай характеристичне рівнянняn-їступені має корені Тоді це рівняння можна записати таким чином

Якщо система стійка, то корені повині бути або дійснимивід’ємними, або комплексно-зв'язаними з від’ємною дійсною частиною.

Нехай

Нехай тоді

Звідси витікає, що після розкриття дужок всі коефіцієнти рівняння будуть додатні. З цих міркувань виходить, що, коли хоч один з коефіцієнтів характеристичного рівняння від’ємний, то система нестійка.

Якщо всі коефіцієнти характеристичного полінома то будь-яке дійсне додатне значенняs, підставлене в рівняння, не може обернути його в нуль і, отже, не є коренем характеристичного рівняння. Тому при неможлива поява наростаючих експонент, що характеризують аперіодичну нестійкість, тобто аперіодична нестійкість неможлива. Проте може виникнути коливальна нестійкість, тобто поява в рішенні складових у вигляді коливань з наростаючою амплітудою. Це виникає, коли існує комплексно-зв'язані корені з додатною дійсною частиною. Тому умова додатності коефіцієнтів при порядку системи більше двох є необхідною умовою, але не достатньою, а для рівнянь першого і другого порядку ця умова є і достатньою.

Дійсно:

Якщо корені комплексно-зв'язані, то Отже, і оскільки