8.1.3.1 Лінійний інтегральний критерій

(8.6)

служить для оцінки якості неколивальних процесів. Геометрично цей критерій характеризує площу, увязнену між кривою перехідного процесу і віссю абсцис

(рис. 8.7, а).

Рис. 8.7 Інтегральні оцінки якості регулювання:

а – лінійна; б - модульна; в - квадратична

Він враховує як час регулювання, так і величину динамічних відхилень. Якщо невідома крива перехідного процесу, але відома передаточна функція замкнутої системи і вхідна змінна , то значення лінійного інтегрального критерію визначається з використанням теореми про кінцеве значення функції. Дійсно, формулу (8.6) можна записати інакше:

і тоді:

Лінійний інтегральний критерій якості можна обчислити і іншими методами. Наприклад, якщо дано диференціальне рівняння і початкові умови:

то, проінтегрував його, отримаємо

Для стійких систем для i= 1, 2,..., п.

Тоді

,

звідки

а за нульових початкових умовах

Існують модифікації лінійного інтегрального критерію, які застосовуються в тих випадках, коли початкова ділянка перехідного процесу є менш відповідальною, наприклад,

Виведемо формулу, що дозволяє обчислювати такий критерій. Для цього продиференціюємо по s функцію

що здійснює перетворення по Лапласу функції y(t):

,

Якщо перейти до межі

при , то отримаємо

Слід зазначити, що для обчислення таких критеріїв не потрібне знання перехідного процесу. Чим менше значення лінійного інтегрального критерію, тим краще якість процесу регулювання. Проте використання даного типу критеріїв для знакозмінних перехідних процесів не дає об'єктивної картини, так, наприклад, для незгасаючої синусоїди = 0. Тому для оцінки якості регулювання таких процесів використовують інтегральні оцінки, знакозмінністьпідінтегральної функції яких усунена яким-небудь чином.

Приклад 8.1 Потрібно обчислити для системи з

Рішення. Знайдемо y(s).

Оскільки

,

а

то