12.2.2.2 ФункціяЛяпунова

Згідно другого методу Ляпунова в розгляд вводиться спеціальна функція V(y1, у2, ..., уn),задана у фазовому просторі. Вона називається функцією Ляпунова і володіє наступними властивостями:

1. Функція V безперервна зі всіма своїми частковими похідними першого порядку в деякій відкритій області, що містить початок координат.

2. На початку координат функція V(y1, у2, ..., уn) приймає нульове значення, тобто при у1 = 0, у2 = 0, ..., уn = 0, V(y1, y2, ...,yn) = 0.

3. Всюди усередині даної області функція Vє знаковизначеною, тобто або V>0, або V<0.

Повна похідна від функції Ляпунова за часом запишеться у вигляді

Хай дана нелінійна система автоматичного управління описується системою диференціальних рівнянь першого порядку у відхиленнях всіх змінних від їх значень в сталому процесі. Отже, для нелінійної системи n-го порядку ці рівняння будуть:

де функції F1, F2, ..., Fnдовільні і містять нелінійності будь-якого вигляду, але завжди задовольняють умові, що при у1 = у2 = ... = уn= 0, F1 = F2 = ... = Fn = 0, оскільки в сталому стані всі відхилення змінних і їх похідних рівні нулю за самим визначенням поняття цих відхилень.

Якщо тепер в похідну від функції Ляпунова (12.9) підставити значення dy1(t)/dt, dy2(t)/dt, ..., dyn(t)/dt з системи рівнянь даної системи управління (12.10), то отримаємо похідну від функції Ляпунова за часом у вигляді

(12.11)

Правими частинами рівнянь (12.10) є задані функції від відхилень y1, y2, ..., уn. Отже, похідна від функції Ляпунова за часом, так само як і сама функція V, є деякою функцією відхилень, тобто

причому, так само як і функція V, ця функція W тотожно обертається в нуль при

у1 = у2= ... = уn =0.

У зв'язку з цим до функції W (12.12) можна застосовувати поняття знаковизначеності, знакопостійності і знакозмінності в деякій області навколо початку координат.