11.3.2 Метод ізоклін

Метод ізоклін має невисоку точність і використовується для якісної оцінки ходу фазових траєкторій.

Ізокліною називається крива, що представляє геометричне місце точок, в яких дотичні до всіх інтегральних кривих нахилені під одним і тим же кутом до осі абсцис.

Методика побудови фазового портрета методом ізоклін складається з наступних етапів:

1) побудова ізоклін;

2) нанесення напряму дотичних до фазових траєкторій;

3) визначення характеру фазового портрета, який шукається.

При використанні методу ізоклін вважається відомою система диференціальних рівнянь (11.2), що описує досліджувану систему, для якої необхідно побудувати фазовий портрет. Отже, відоме рівняння фазових траєкторій (11.3)

.

Для отримання ізоклін необхідно покласти

,

тобто

. (11.4)

Задаючи різні значення константи - (С) в (11.4), на фазовій площині будується сімейство ізоклин, на яких під кутом γ = arctgC до осі абсцис наносяться стрілки і по ним визначається характер фазового портрета системи.

Допустимо, що поле ізоклін має вигляд, представлений на рис. 11.7. Початкове положення зображуючої точки вибирається довільно на ізокліні С1 = 0. З цієї точки М0 проводиться два відрізка: один під кутом γ1 = arctgC1, а інший під кутом γ2 = arctgC2 до перетину їх з сусідньою ізокліною С2.

Рис. 11.7 Побудова фазового портрета методом ізоклін.

Точки перетину відрізков з ізокліною позначаються М1’ і М1”, відповідно. За точку фазової траєкторії береться точка М1, яка лежить між ними. Повторюючи побудови таким же чином, але з точки М1, тобто проводячи два відрізка до сусідньої ізокліни під кутом γ2 = arctgC2 і γ3 = arctgC3, знаходиться точка М2 і т. д. Точність фазового портрета залежить від числа ізоклін, по яких він будується. Особливим точкам на фазовій площині відповідають точки перетину декількох ізоклін, оскільки в них напрям фазових траєкторій стає невизначеним.

Приклад 11.2 Побудувати фазовий портрет нелінійної системи другого порядку методом ізоклін. Система описується нелінійним диференціальним рівнянням

.

Проводячи заміну y1(t) = у(t), y2(t) = dy/dt, диференціальне рівняння другого порядку замінюється системою диференціальних рівнянь першого порядку

Рівняння фазової траєкторії виходить, якщо поділити друге рівняння на перше

,

а рівняння ізоклін

.

Задаючи різні значення C (C0 = 0; С1 = 0,25; С2 = 0,5; С3 = 1; С4 = 2; С5 = 5; C-1 = -0,25; C-2 = -0,5; С-3 = -1; С-4 = -2; С-5 = -5), для кожного з них по рівнянню на фазовій площині будується ізокліна (на рис. 11.8 суцільні криві).

Рис. 11.8 Фазовий портрет нелінійної системи.

Потім на кожній кривій наносяться стрілки під кутами γ = arctgC ( γ ≈ 0°; γ ≈ 4°; γ ≈ 26,5°; γ ≈ 45°; γ ≈ 64°; γ ≈ 89°) до осі абсцис.

По цих стрілках відновлюються шукані фазові траєкторії. В даному випадку виходить стійкий граничний цикл, що відповідає автоколиванням в системі. Інші фазові траєкторії носять спіралевидний характер і "намотуються" на граничний цикл як зовні, так і зсередини.

Особлива точка - початок координат є стійким фокусом.