15.10. Опис дискретних систем у просторі станів

Сучасна теорія дискретних систем, так само як і безперервних, базується на описі їх у просторі станів.

Розглянемо дискретну систему m-го порядку з одним входом u[n] і одним виходом y[n], передатна функція якої в загальному виді може бути записана в такий спосіб

Якщо порядок чисельника передатної функції виявиться менше порядку знаменника, тобто l<m, то b₀ = , ..., = b_m-l-1 = 0.

З дискретної передатної функції (15.122) випливає різницеве рівняння

якому відповідає структурна схема дискретної системи, наведена на рис. 15.22.

Рис. 15.22. Структурна схема дискретної системи

Позначивши змінні на виходах відповідних ліній затримок через xi[n] - координати стану системи (i= 1, 2, ..., m), складемо наступну систему з різницевих рівнянь першого порядку:

…

Невідомі коефіцієнти h_i (i=0, 1, 2, ..., m) визначаються з умови еквівалентності системи різницевих рівнянь (15.124) вихідному різницевому рівнянню (15.123) і обчислюються послідовно по формулах:

h₀ = b₀;

h₁ = b₁ a₁h₀;

h₂ = b₂ a₁h₁ a₂h₀;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

У загальному виді

i = 0, 1, 2, ..., m.

Рівняння (1.124) можна переписати у векторно-матричній формі:

де

- вектор змінні стани;

- матриця системи;

- матриця керування;

C = [1 0 0...0 0 ] - матриця спостереження;

D = [h₀] - матриця, що показує вплив вхідного сигналу на вихідну величину системи.

Система рівнянь (15.126) є стандартною формою опису дискретної системи в просторі станів. Перше рівняння називається векторним різницевим рівнянням системи, а друге - рівнянням виходу.

Стандартній формі відповідає структурна схема системи, зображена на рис. 15.23.

Рис. 15.23. Структурна схема дискретної системи в матричній формі:

Z^-1 - блок запізнювання; A,B,C,D - блоки матричних підсилювачів

Змінні стани - це дискретні значення сигналу в сучасний момент часу й m-1 його значень у попередні моменти часу.

Аналогічно безперервним системам складові вектора змінних станів x_i[n] розглядають як осі координат багатомірного простору стану системи. Із часом вектор стану змінює своє значення й положення, його кінець описує в просторі стану деяку криву, називану траєкторією руху системи.

Матриця системи A визначає стійкість і інші показники якості роботи системи, матриця керування B характеризує вплив на змінні стани вхідного впливу, а матриця спостереження C встановлює зв'язок вихідної величини системи з вектором змінні стани. Вибір змінні стани в дискретних системах, як і в безперервних, є неоднозначною операцією, тобто векторне різницеве рівняння залежить від обраних змінні стани. Однак всі можливі векторні рівняння еквівалентні, тому що описують той самий динамічний процес зв'язку вихідної змінної системи із вхідним впливом.

У загальному випадку дискретна система має k входів і r виходів. При цьому вид векторних рівнянь залишається таким же (15.126), у яких матриця системи A має той же вид, що й у системах з одним входом і одним виходом, матриця керування стає прямокутної розміром mk, а матриця спостереження має розмір rm.

Дискретна матриця переходів встановлює зв'язок між значеннями вектора змінні стани в різні отсчеты часу й для стаціонарних систем визначається як

Ф(n) = Z^1{[zЕ  A]^1 z}. (15.127)

Матрицю [zЕ  A] називають характеристичною, визначник цієї матриці утворить характеристичне рівняння системи.

Таким чином, рішення векторного різницевого рівняння має вигляд

Приклад. Знайти опис у просторі станів системи, дискретна передатна функція розімкнутого ланцюга якої має вигляд

Рішення. Визначаємо дискретну передатну функцію замкнутої системи

яке відповідає різницеве рівняння

y[n+2] - 0.75 y[n+1] + 0.125y[n] = u[n+1] - u[n].

На підставі виражень (1.125) і (1.126) одержуємо

С = [1 0]; D = [0];

Рівняння системи в просторі станів

По отриманих рівняннях на рис. 15.24,а зображена структурна схема системи, у якій змінні стани - це вихідні величини ланок затримки.

Знайдемо полюси (z₁ = 0.5; z₂ = 0.25) дискретної передатної функції системи й розкладемо її на найпростіші дроби

Структурна схема системи представлена на рис. 15.24,б.

а)

б)

Рис. 15.24. Структурна схема дискретної системи другого порядку:

а - щодо виходів; б - щодо полюсів системи

Вибравши в якості змінні стани вихідні величини ланок затримки, одержимо наступну систему рівнянь:

де

С_n = [1 1]; D_n = [0];

На відміну від розглянутого раніше опису змінні в різницевих рівняннях розв'язані між собою. Такий запис називається нормальною формою опису дискретної системи в просторі станів.