3.5 Динамічні процеси в системах

Основним математичним апаратом при вивченні і дослідженні систем управління є апарат диференціальних рівнянь. Круг даних об'єктів був вже визначений – це лінійні об'єкти із зосередженими координатами. При цьому розрізняють стаціонарні об'єкти, коефіцієнти диференціальних рівнянь яких не змінюються в часі, і нестаціонарні об'єкти, у яких коефіцієнти змінюються з часом, наприклад, зміна теплопровідності, старіння каталізатора і ін.

Більшість об'єктів регулювання є нестаціонарними об'єктами, проте, швидкість зміни їх властивостей набагато менша швидкості регулювання, тому такі об'єкти при розрахунку систем регулювання можна приблизно розглядати як стаціонарні протягом певного проміжку часу, за який властивості об'єкту не встигають істотно змінитися.

Далі розглядатимуться лінійні стаціонарні об'єкти (системи) із зосередженими координатами, які описуються звичайними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами:

Рівняння (3.8) описує поведінку об'єкту, який має статичну характеристику у несталому (перехідному) режимі при будь-якій формі вхідного сигналу .

Окремими випадками рівняння (3.8) є рівняння

Для об'єктів, що описуються рівнянням (3.8, а), статична характеристика існує, але є виродженою, оскільки . Для об'єктів же, що описуються рівнянням (3.8, б), статична характеристика не існує.

Об'єкти, що мають статичну характеристику, називаються статичними, а не що мають статичної характеристики, називаються астатичними. В більшості випадків, як вже наголошувалося вище, рівняння систем автоматичного регулювання виявляються нелінійними, тому, якщо це можливо, проводять лінеаризацію цих рівнянь за допомогою ряду Тейлора шляхом розкладання нелінійних функцій деяких змінних по ступенях малих приростів цих змінних, узятих в околиці їх значень, відповідних сталому режиму. В результаті отримують лінеаризовані рівняння у відхиленнях. Таким чином, в більшості випадків диференціальне рівняння (3.8) є рівнянням у відхиленнях, яке описує об'єкт або систему регулювання тільки в околиці сталого режиму. Для лінійних систем рівняння у відхиленнях і початкові рівняння співпадають.

Для отримання вирішення рівняння (3.8) необхідно задати початкові умови, під якими розуміється стан процесу у момент часу, прийнятому за його початок .

Загальне рішення рівняння (3.8) представляється у вигляді:

У виразі (3.10) є загальним вирішенням відповідного однорідного рівняння і – часне рішення неоднорідного рівняння (3.8). Отже відповідає руху системи у відсутності вхідного сигналу тобто власному вільному руху системи, і визначається властивостями самої системи, які виявляються у властивостях коренів характеристичного рівняння. Якщо ці корені різні, то

де – корні характеристичного рівняння; – довільні постійні, визначувані з початкових умов.

Часне рішення залежить від виду функції , що визначає вхідну дію на систему, і відповідає вимушеному руху (стану) системи.

Рішення (3.10) рівняння (3.8) визначає динамічний процес в системі, що відбувається з моменту подачі вхідної дії, який прийнятий за початок відліку часу, тому рух системи (перехідий процес) розглядається тільки при для він прийнятий рівним нулю.

Вихідний сигнал , що виходить протягом такого процесу, є найповнішою характеристикою динамічних властивостей системи, тому визначення цього сигналу, як вже наголошувалося, і є основним завданням теорії регулювання. Тут стає актуальною ідея вивчення динамічних властивостей системи за допомогою часових характеристик.