11.3.4 Метод зшивання

Метод зшивання багато в чому аналогічний методу припасовування. I частоці два методи розглядають разом, як один. Метод зшивання застосовний у всіх тих же ситуаціях, що і метод припасовування, тобто статична характеристика нелінійного елементу є кусочно-лінійною функцією. При побудові фазового портрета ця характеристика розбивається на лінійні ділянки, для кожної з яких будується своя фазова траєкторія і визначається деяка область фазового простору. Загальний фазовий портрет виходить "зшиванням" окремих областей бажаним чином. Під час переходу зображуючої точки через межі цих заздалегідь, встановлених областей, система змінює свою структуру. Таким чином, метод "зшивання" використовується при побудові фазових портретів систем із змінною структурою. Прикладами таких систем є релейні системи, замикаючі або розмикаючі частину схеми під час переходу через лінії зшивання. У таких системах за певних умов можливо отримати види руху вищої якості, ніж в будь-якій з окремо узятих структур.

Як приклад розглянемо просту релейну систему (рис. 11.11, а), що складається з лінійної частини, що описується диференціальним рівнянням другого порядку, і нелінійного елементу із статичною характеристикою (рис. 11.11, б).

Рис. 11.11 Релейна система:

а – структурна схема; б – статична характеристика.

Хай дана система описується таким чином

,

де у1 = у; y2 = dy/dt = dy1/dt;

к - коефіцієнт посилення лінійної частини;

f(у1) - релейна характеристика: f(y1)= asigny1.

Тоді рівняння фазової траєкторії

або

.

Верхній знак відповідає правій, нижній - лівій напівплощині. Вісь ординат є лінією перемикання. Фазовими траєкторіями є замкнуті криві, утворені відрізками парабол (рис. 11.12, а).

Рис. 11.12 Фазові портрети релейної системи:

а - з двопозиційним реле; б - з двопозиційним реле із зоною нечутливості;

в - з двопозиційним реле з гістерезисом.

Введення зони нечутливості приводить до появи відрізка спокою і смуги, утвореної лініями перемикання, усередині якої відрізки траєкторій горизонтальні (рис. 11.12, б). За наявності гістерезису процес розходиться (рис. 11.12, в).

Стабілізувати подібну систему можна, охопивши релейний елемент негативним зворотним зв'язком, по похідній вихідної величини. Тоді фазовий портрет описується рівнянням

і, отже,

,

якщо

,

якщо .

Лінія перемикання

(рис. 11.13) є прямою, що проходить через початок координат і нахилену під кутом

arctg(-l/kзз).

Рис. 11.13 Побудова фазового портрета методом зшивання:

а - фазовий портрет; б - рух по лінії перемикання.

Праворуч від цієї лінії у1 + kззу2 >0, зліва - у1 + kззу2 < 0. Фазові траєкторії в обох випадках - параболи, положення вершин яких визначається постійною інтегрування С, яка залежить від початкових умов. Повністю фазовий портрет даної системи зображений на рис. 11.13, а.

На лінії перемикання можна виділити три характерні ділянки, які розмежовані точками дотику А і В лінії перемикання з показаними пунктиром параболами. За межами відрізка АВ фазова траєкторія по одну сторону лінії перемикання після переходу через неї є продовженням траєкторії по іншу сторону лінії. Усередині відрізка АВ фазові траєкторії підходять до нього з двох сторін і упираються в нього. Зображуюча точка не може зійти з цього відрізка, але не може і залишитися на ньому. Цей процес можна розшифрувати таким чином. Хай рух йде по фазовій траєкторії 1 (рис. 11.13, б). Як тільки фазова траєкторія перетне лінію перемикання АО, вступить в свої права фазова траєкторія 2, яка поверне процес до відрізка ОА. Проте, на шляху руху зустрічається фазова траєкторія 3 і т.д. У результаті зображуюча точка, вібрує біля лінії перемикання і переміщається на початок координат. В цьому випадку говорять, що зображуюча точка ковзає по лінії перемикання до рівноважного стану типу стійкого вузла. Процес такого роду називається ковзаючим процесом, а відрізок АВ - лінією ковзання.

Рух уздовж лінії ковзання визначається тільки лінією перемикання і абсолютно не залежить від параметрів лінійної частини. Ця обставина використовується при побудові багатьох систем із змінною структурою.