12.3.1 Функція Ляпунова у вигляді квадратичних форм

Для лінійних систем функція Ляпунова є квадратичними формами координат, коефіцієнти яких знаходяться порівняно легко. Хай дана система диференціальних рівнянь

і хай корені її характеристичного рівняння ліві, тобто мають негативні дійсні частини. Шукатимемо коєфіцієнтиli,jквадратичної форми

так, щоб повна похідна цієї форми

була визначено-негативною.

Для цього, слідуючи Ляпунову, задамося визначено-позитивною формою

(12.24)

з коефіцієнтами gij = gji.

Таку форму можна вибрати таким чином: задаються n довільними речовими коефіцієнтами, g11, g22, ..., gnn і потім визначають

.

Тоді G(у) є повним квадратом

і є безумовно-позитивною функцією.

Ляпуновим було доведено, що при негативних дійсних частинах коренів характеристичного рівняння завжди можна єдиним чином підібрати коефіцієнти форми, яка буде визначено-позитивною. Оскільки dL/dt < 0, тоL є функцією Ляпунова. Ляпунов вказав наступний метод знаходження функції V для лінійних систем. Шукатимемо лінійну форму змінних

яка задовольняла б умові

Для знаходження коефіцієнтів А1, А2, ..., An підставимо (12.25) в останній вираз, в результаті отримаємо

Оскільки y1,y2, ...,ynнезалежні змінні, та рівняння може існувати лише за умови, що всі коефіцієнти при у1, у2,...,уп тотожно рівні нулю. Знаходимо

Умовою спільності цих n рівнянь є рівність нулю визначника системи ( Δ = 0), де χ є коренем характеристичного рівняння. Оскільки в загальному випадку їх п, то можна знайти п значень для функції U, рівних U1, U2, ..., Un. Оскільки корені можуть бути комплексними, тобто

,

то їм відповідають зв'язані значення функції і .

Складемо далі функцію

якщо виявиться дійсною величиною, візьмемо Ui². Таким чином отримуємо додатно-визначену функцію, похідна за часом якою буде

де

Підставляючи в (12.29) значення dyi/dt з рівняння (12.21), зрештою отримуємо

де αі - дійсні частини коренів.

Таким чином, вказано спосіб побудови функції Ляпунова для лінійної системи.