12.5 Абсолютна стійкость по критерію Попова

Великі можливості для дослідження стійкості і навіть якості нелінійних систем відкриває запропонований в 1960 році румунським ученим Поповим критерій абсолютної стійкості, особливо його геометричне трактування, що дозволяє привернути до дослідження даного класу нелінійних систем частотні методи.

Розглядається нелінійна система, на яку діє кінцевого вигляду довільна дія f(t), обмежена лише тим, що вона вважається зникаючою (рис. 12.4), тобто

.

Рис. 12.4 Нелінійна система із зникаючою дією.

Хай лінійна частина системи описується передаточною функцією W(s), а в часовій області -ваговою функцією w(t), нелінійний елемент характеризується статичною характеристикою y(t) = Ф[x(t)].

Вся нелінійна система в інтегральній формі описується рівнянням

зображення по Лапласу якого

.

Стан рівноваги х = 0 буде стійким по Ляпунову, якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного ε існує інше позитивне η(ε)таке, що при sup|f(t)| = η0, η0 <ηмає місце нерівність х(t) ≤ ε. Якщо ηнеобмежено, має місце стійкість в цілому.

Абсолютною стійкістю рівноваги називається стійкість в цілому, що має місце для всіх характеристик Ф(х), що належать до певного класу.

Розглядатимемо стійкість для характеристик Ф(х), лежачих в куту α, тобто що належать підкласу (0, k) (рис. 12.5).

Рис. 12.5 Клас нелінійних характеристик

Якщо рівновага абсолютно стійка, то вона абсолютно стійка і для всіх прямолінійних характеристик у = hx, де 0 ≤h ≤ k, оскільки ці прямі відносяться до даного підкласу.

Початкова нелінійна система (рис. 12.4) є по своїй структурі замкнутою системою, в якій нелінійний елемент охоплений негативним зворотнім зв'язком з лінійною ланкою W(s).

Якщо провести лінеаризацію нелінійної характеристики Ф(х(t)), то отриману вже замкнуту лінійну систему можна досліджувати на стійкість за допомогою частотного критерію Найквіста.

Розглянемо основний випадок, коли лінійна частина системи стійка, тобто її характеристичне рівняння не має правого корення або теж саме, що W(s) не має правих полюсів і тоді годограф вектора розімкнутої системи лінеаризованої характеристики hW(іω) не перетинає відрізка (-∞, -1) дійсної осі. У відповідності з критерієм Найквіста цієї умови досить, щоб замкнута лінійна система була стійка. Оскільки 0 ≤h ≤ k, то достатньою умовою стійкості всіх лінійних систем з підкласу (0, k) буде умова, щоб W(іω) не перетинала відрізок дійсної осі (-∞, -1/k).

Можна показати, що ця умова необхідна і достатня. Дійсно, хай лінійна частина стійка, але W(іω) перетинає парне число разів відрізок (-∞, -1/k). Змінюючи h в межах від 0 до k, тим самим переміщається права межа критичного відрізка, причому значенню h = 0 відповідає точка -∞, а h = k -точка -1/k. Завжди можна вибрати h усередині заданих меж так, щоб права межа критичного відрізка попала в будь-яку точку відрізка (-∞, -1/k).

Якщо характеристика W(іω) перетинає парне число разів відрізок (-∞, -1/k), то вибереться значення h так, щоб число перетинів стало на одиницю менше, але тоді замкнута система стає нестійкою. Таким чином, щоб замкнута система залишалася стійкою при будь-яких h, ув’язнених в межах 0 ≤h ≤ k, необхідно і достатньо, щоб W(іω) ніде не перетинала відрізок (-∞, -1/k) осі абсцис.

Для довільної нелінійної функції з підкласу (0, k) достатня умова абсолютної стійкості була сформульована Поповим і виглядає таким чином.

Для того, щоб положення рівноваги нелінійної системи із стійкою лінійною частиною було стійке, достатньо виконання наступних умов:

1.Існує таке дійсне число α, при якому дійсна частина функції Попова П(іω) була позитивна

2. Функція Ф(х) належить підкласу (0,k),тобто 0 ≤ Ф(х)/х ≤ k.

Доведення цієї теореми не приводиться, але розглядається геометричне трактування. Для цього вводяться наступні характеристики видозміненої частотної характеристики лінійної частини W*(iω), пов'язаної з початковою W(iω) співвідношеннями:

(12.44)

тобто дійсна частина видозміненої характеристики рівна дійсній частині початкової, а уявна частина рівна уявній частині початкової, помноженою на ω. Оскільки ImW(iω) = 0 і ImW*(iω) = 0 одночасно, то точки перетину дійсних характеристик співпадають. Дійсна і уявна частини видозміненої характеристики W*(iω) є парними функціями ω. Якщо ступінь чисельника W(iω) не вищий за ступінь знаменника і W(iω) має не більш за один полюс на початку координат, то при ω→∞ RеW*(iω) і ImW*(iω) прямують до кінцевих меж і характеристика W*(iω) лежить в кінцевій частині площини цілком.

Хай

тоді

або

Критичним є випадок, коли

який дає в координатах U*, V*рівняння прямої лінії, дотичної до характеристики W*(iω). Пряма проходить через точку (-1/k, іω) і має кутовий коефіцієнт l/α.

Коли

W*(iω) лежить в частині площини, що включає початок координат, тобто правіше за пряму.

Таким чином, для абсолютної стійкості рівноваги досить, щоб на площині видозміненої частотної характеристики W*(iω) лінійної частини системи можна було провести пряму через точку (-1/k, і0) так, щоб W*(iω) цілком розташовувалася праворуч від цієї прямої (рис. 12.6, а).

Рис. 12.6 Геометричне трактування абсолютної стійкості системи:

а - стійка систем; б – нестійка.

На рис. 12.6, б приведений випадок, коли відокремлюючу пряму побудувати не можна і судити про стійкість також не можна.

Критерій Попова поширений також на системи з нестійкою або нейтральною лінійною частиною. В цьому випадку повинні виконуватися умови

тобто нелінійна характеристика повинна укладатися в кут, обмежений прямими з кутовими коефіцієнтами rі k+r. При цьому rвибирається так, щоб 1+rW(іω) мала всі нулі в лівій напівплощині, а W1(іω) - видозмінена характеристика лінійної частини

.

Між критерієм абсолютної стійкості Попова і другим методом Ляпунова існує глибокий зв'язок. Було доведено, що якщо виконується умова абсолютної стійкості Попова, то існує типова функція Ляпунова - квадратична форма плюс нелінійність, причому умова

є необхідною і достатньою.

Приклад 12.5 Нелінійна система другого порядку має лінійну частину, що описується рівнянням

.

Потрібно визначити, при яких значеннях kсистема буде абсолютно стійка, якщо характеристика нелінійного елементу лежить в секторі (0, k).

Видозмінена характеристика лінійної частини буде

Аналіз цієї характеристики показує, що при всіх ω уявна частина характеристики негативна, а це говорить про те, що вся характеристика W*(iω)лежить в нижній напівплощині (рис. 12.7).

Рис. 12.7 Видозмінена АФХ.

При частотах ω = 0, ω = 1, ω = ∞ вона має загальні точки з характеристикою W(iω).

Дотична до кривої АФХ W*(iω) на початку координат проходить під кутом arctg(2hω0) до дійсної осі. Сама крива W*(iω) лежить правіше за цю дотичну, тому завжди можна провести пряму Попова через точку -1/kпід деяким кутом α (рис. 12.7). Система абсолютно стійка при всіх kі для всіх однозначних нелінійних характеристик, що належать сектору (0, ∞).