Визначення перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа називається перетворення функції змінної у функцію іншої змінної за допомогою оператора, визначуваного співвідношенням

де – оригінал функції; – зображення по Лапласу функції ; – комплексна змінна .

Формула (3.16) визначає пряме перетворення Лапласа. Можливе і так зване зворотне перетворення Лапласа, що дозволяє по зображенню знайти оригінал. Воно визначається співвідношенням

де – абсциса збіжності функції .

Для більшості функцій, що зустрічаються на практиці, складені таблиці відповідності між оригіналами і зображеннями. Зображення деяких функцій, що найбільшчасто зустрічаються, в теорії управління приведені в табл. 3.1. Якщо ж функція відсутня в таблиці, то її зображення можна отримати безпосередньо, користуючись співвідношенням (3.16).

Приклад 3.1 Потрібно знайти перетворення Лапласа від функції .

Згідно визначенню перетворення Лапласа (3.16) маємо

Таким чином, .

Таблиця перетворення Лапласа

Широке застосування перетворення Лапласа обумовлене тим, що зображення деяких функцій виявляється простішим за їх оригінали і ряд операцій, таких як інтегрування, диференціювання над зображеннями простіше, ніж відповідні операції над оригіналами.