Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

2.8 Сигнали. Їх види

Найчастіше в теорії автоматичного управління використовуються наступні сигнали.

1 Одиничний стрибок (рис. 2.2). 1(t) називається також функцією Хевісайда.

(2.16)

Строго кажучи, функція Хевісайда фізично не реалізовується, проте, якщо, наприклад, на досліджуваному об'єкті різко відкрити вентиль, внаслідок чого витрата речовини, що подається, зміниться стрибком з до то говорять, що на вході об'єкту реалізований стрибкоподібний сигнал величиною і якщо остання різниця рівна одиниці, то на вході реалізується одиничний стрибок.

Спектральна характеристика для одиничного стрибка:

(2.16)

2 Одинична імпульсна функція – дельта-функція (мал. 2.3) – це функція, що задовольняє наступним умовам:

(2.17)


Рис. 2.2Одиничний стрибок	Рис. 2.3Одиничний імпульс

Дельта-функцію називають також функцією Дираку, вона відноситься до класу сингулярних функцій. Цю функцію, що також фізичноне реалізовується, можна представити як імпульс нескінченно малої тривалості і нескінченно великої амплітуди, тобто як межа, до якої наближується прямокутний імпульс з підставою і площею, рівній одиниці (рис. 2.4, а), якщо так, щоб площа імпульсу зберігалася рівній одиниці. Також δ-функцию можна представити як межу деякої функції (рис. 2.4, б):

(2.18)

Рис. 2.4Представлення дельта-функції:

а – прямокутний імпульс; б – δ(у, t) -функція

До основних властивостей дельта-функції можна віднести наступну рівність:

(2.19)

δ-функція є парною функцією:

,	(2.20)
	(2.21)

тобто з безперервної функції можна "вирізувати" одну ординату.

Останнє співвідношення, використовуючи розглянуті вже властивості δ-функції, доводиться таким чином:

Спектральна характеристика дельта-функції: .

Між функцією Хевісайда і функцією Дираку існує зв'язок, що виражається співвідношенням

(2.22)

На практиці вважається, що на вхід об'єкту подана δ-функция, якщо час дії прямокутного імпульсу набагато менше часу перехідного процесу.

3 Гармонійний сигнал (рис. 2.5, а)

(2.23)

використовується при дослідженні систем автоматичного регулювання частотними методами.

Синусоїдальний гармонійний сигнал можна представити як обертання вектора довжиною навколо початку координат (рис. 2.5, б) з деякою кутовою швидкістю рад/с.

Гармонійний сигнал характеризується такими параметрами, як амплітуда – ; період – ; фаза – .

Рис. 2.5Гармонійний сигнал:

а – звичайний сигнал; б – представлення гармонійного сигналу

обертанням вектора; у – гармонійний сигнал із зрушенням фази

Між періодом і кутовою швидкістю справедливі співвідношення

(2.24)

Якщо коливання починаються не з нуля, то вони характеризуються фазою коливань (рис. 2.5, в), яка в часовій області характеризується відрізком але зазвичай фазу виражають в радіанах – (рис. 2.5, б). Переклад здійснюється по формулі

(2.25)

На практиці для отримання гармонійного сигналу використовується генератор синусоїдальних коливань.

4 Зсунуті елементарні функції.

До цих функцій відносяться функції Хевісайда і Дираку із запізнюванням, тобто і (рис. 2.6),

Рис. 2.6Зсунені елементарні функції

причому .

Всі властивості δ-функціїзберігаються, але записуються у вигляді:

;

5 Сигнал довільної форми – (рис. 2.10, а).

Будь-який сигнал довільноїформиможнапредставити за допомогоюδ-функції. З цією метою виділяється довільний момент часу і будується стовпчик заввишки (рис. 2.7, б)відповідний значенню сигналу у момент часу і основою .

Цей імпульс можна виразити через наближену дельта-функцію –

тобто .

Рис. 2.7Сигнал довільної форми:

а – вхідний безперервний сигнал; б – імпульс;

в – суперпозиція імпульсів, що визначають сигнал.

Замінюючи функцію x(t) набором імпульсів (мал. 2.7, в), можна записати: .

Якщо тепер то

(2.26)

Сигнал довільної форми можна представити і через одиничні функції, для чого вираз (2.26) слід проінтегрувати по частинах, використовуючи співвідношення внаслідок чого отримують наступне співвідношення

(2.27)

Содержание