logo
Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

6.8.1 Принцип аргументу

У основі частотних критеріїв стійкості лежить слідство відоме з теорії функції комплексного змінного принципу аргументу. Хай даний поліномn-гоступені (6.27):

Цей поліном відповідно до теореми Безу можна представити у вигляді

(6.40)

де – коренірівняння

Кожен корінь геометрично може бути зображений вектором, проведеним з початку координат до точки sj(рис. 6.19, а). Довжина його рівна модулю комплексного числа, а кут, утворений вектором з додатним напрямом дійсної осі, – аргументу або фазі комплексного числа.

Величини геометрично зображаються вектором, проведеним з точки до довільної точкиs (рис. 6.19, б).

При , наприклад, отримують:

(6.41)

і кінці всіх векторів знаходитимуться на уявній осі (рис. 6.19, в).

Розглядаючи вектор отримують, що модуль його рівний

(6.42)

а аргумент

(6.43)

Якщо прийняти за додатний напрям відліку кутів обертання проти годинникової стрілки, то при зміні частоти від до кожен елементарний вектор повертається на кут , якщо корінь розташований зліва від уявної осі, і на якщо справа (рис. 6.19, г).

Якщо поліном має m правих коренів і лівих, то при зміні ω від до зміна аргументу вектора D(iω) рівна сумі кутів повороту вектора (iω – sj), тобто

(6.44)

Звідки витікає наступне правило: зміна аргументу при зміні частоти від до+ дорівнює різниці між числом лівих і правих коренів рівняння D =0,помноженій на .

При зміні частоти від 0 до зміна аргументу вектора буде удвічі менше

Рис. 6.21 Принцип аргументу

(6.45)

Це правило покладене в основу всіх частотних критеріїв.