12.7 Тренувальні завдання

1. У нелінійних системах досліджується стійкість руху. Розрізняють збурений рух і незбурений рух. Основними видами стійкості руху є поняття стійкості руху по Ляпунову і асимптотичній стійкості. Крім того для нелінійних систем існують такі поняття, як стійкість в "малому" і стійкість в "великому".

Для дослідження стійкості в "малому" використовується перший метод Ляпунова, який дозволяє судити про стійкість нелінійної системи по лінійній системі першого наближення.

А Який рух називається збуреним і який рух називається незбуреним?

В Який сенс має поняття стійкості руху системи по Ляпунову і чим воно відрізняється від асимптотичної стійкості?

С Які теореми були доведені Ляпуновим в першому методі дослідження стійкості в "малому" стану рівноваги нелінійної системи?

2. Як відомо, достатні умови стійкості нелінійних систем дає другий метод Ляпунова, що дозволяє досліджувати стійкість в "великому". Згідно цьому методу в розгляд вводиться функція V(у1, у2, ..., уn), задана у фазовому просторі і така, що володіє наступними властивостями: безперервна зі всіма своїми частковими похідними в деякій відкритій області, що містить початок координат; при у1 = у2 = ... = уn= 0 - V(у1, у2, ..., уn) = 0; усередині даної області V є знаковизначеною функцією, тобто V> 0 або V< 0.

А. М. Ляпуновим були сформульовані три теореми: про стійкість, про асимптотичну стійкість і про нестійкість. Так для доказу асимптотичної стійкості будується і досліджується похідна за часом функції Ляпунова, яка через систему диференціальних рівнянь, що описують нелінійну систему, повинна бути знаковизначеною функцією протилежного з V знаку.

Якщо знайти таку функцію V вдасться, то стійкість нелінійної системи буде доведена, причому стійкість в "великому". Єдиного підходу до побудови функції V(у1, у2, ..., уn) не існує, але є рекомендації по складанню цієї функції для дослідження певного класу систем.

А Яка теорема фізики лежить в основі другого методу Ляпунова?

В Якими властивостями повинна володіти функція Ляпунова і її похідна за часом, щоб нелінійна система була стійка ?

С Як Ви поясните, що другий метод Ляпунова дає стійкість нелінійної системи в "великому"?

3. Для дослідження стійкості певного класу нелінійних систем застосовують критерій абсолютної стійкості. Цей критерій відноситься до групи частотних критеріїв стійкості. Дана нелінійна система є замкнутою системою і складається з лінійної частини, що характеризується амплитудно-фазовою характеристикою W(iω), і нелінійного елементу із статичною характеристикою Ф(х) з підкласу (0, k), тобто 0 ≤ Ф(х)/х ≤ k, що стоїть в негативному зворотньому зв'язку.

Для стійкості стану рівноваги нелінійної системи із стійкою лінійною частиною достатньо виконання умови, що дійсна частина функцій Попова П(іω) позитивна.

А Як Ви розумієте абсолютну стійкість?

В Що є видозмінена амплитудно-фазова характеристика лінійної частини, і як остання пов'язана з початковою?

С Дайте геометричне трактування критерію абсолютної стійкості.

4. В нелінійних системах для дослідження якості регулювання використовують критерії стійкості, з яких виводять такий показник як ступінь стійкості. Також для оцінки якості регулювання використовують інтегральні критерії якості.

А В якому вигляді записується інтегральний квадратичний критерій?

В Які обмеження накладаються на нелінійну функцію у = F(x) при розрахунку інтегральних критеріїв?

С В яких випадках говорять, що нелінійна система володіє загасанням?