14.4. Нормальна форма рівнянь у просторі станів

Нормальна форма рівнянь у просторі станіввиходить зі стандартної форми (14.1) за допомогою перетворення подоби. При цьому передбачається, що власні числа матриці А різні.

Уведемо лінійне перетворення

X=MQ, (14.28)

де М - модальна матриця матриці А.

Рівняння (14.1) перепишемо

(14.29)

Помноживши перше рівняння з (14.29) ліворуч на М^-1 , одержимо

(14.30)

Тому що M - модальна матриця, то

М^-1АМ =  = - діагональна матриця;

де _i (при i = 1, 2, ... , n) - власні числа матриці .

Отже, можна записати

(14.31)

де =М^-1АМ, В_n= М^-1B, C_n=CM, D_n=D  матриці;

Q=[q₁,q₂,...,q_n]^T - вектор стану системи, елементами якого є нові змінністану q_i (при i=1, 2, ... , n).

Система (14.31) являє собою нормальну форму рівнянь опису систем керування в просторі станів.

Нормальна форма рівнянь стану дозволяє декомпозировать багатозв’язану систему n-го порядку на n незв’язаних систем, при цьому диференціальні рівняння стають розв'язаними щодо зміннихстану q₁,q₂,...,q_n, тобто вони мають вигляд

(14.32)

де f_i - зовнішній вплив на i-ю зміннустану.

Таким чином, перехід до нормальної форми істотно спрощує дослідження багатозв’язаних систем.

У випадку кратних власних чисел матриці A діагональна матриця ( заміняється матрицею J, що будується із клітокЖордана, наприклад,

. (14.33)

Таким чином, зпорівняннярівнянь (14.1) і (14.31) випливае, щоприматематичномуописітогосамогодинамічногопроцесурізномувиборузміннихстанувідповідаютьрізніматрицісистеми, керування, спостереження, зв'язкийрізнівекторнідиференціальнірівняння, кожнезякихповністювизначаєвихіднувеличинусистеми.

Приклад.Написати рівняння станів у нормальній формі для динамічної системи, представленої на рис.14.3.

Рис. 14.3. Структурна схема системи в зміннихстану

Рішення. Виберемо в якості зміннихстану системи сигнали на виходах інтеграторів x1 і x2. У цьому випадку структурній схемі (рис.14.3) відповідає наступна система рівнянь ( стандартна форма)

Звідки матриці

, B= , C= , D=[2].

Власні числа матриці A: ₁= 1, ₂= 2.

Модальна матриця M= і M^-1= .

Тоді діагональна матриця системи, матриця керування, матриця спостереження й матриця зв'язку будуть

= , В_n= М^-1B= , C_n=CM=[-1 -1], D_n=D=[2].

Звідси одержуємо рівняння станів системи в нормальній формі

яким відповідає структурна схема системи, наведена на рис.14.4.

Рис. 14.4. Структурна схема системи в зміннихстану

по полюсах