logo
Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

15.11 Тренувальні завдання

  1. Одержати модель у змінні стану для системи з передатною функцією:

Рішення:

  1. Розділивши чисельник і знаменник вихідної передатної функції на Z2 одержимо:

П

о передатній функції побудуємо модель у формі структури називаною канонічною формою програмування цифрових фільтрів (рис.15.25):

0.368

0.264

T

T

1.368

0.368

U(K) Y(K)

0.368

Р

Z-1

Z-1

ис.15.25

Т оді рівняння стану запишуться у вигляді:

X1(k+1) = X2(k)

X2(k+1) = -0.368X1(k) + 1.368X2(k) + U(k)

Y(k) = 0.264X1(k) + 0.368X2(k)

Ці рівняння представимо у векторно-матричній формі:

+

2.Одержати модель у змінні стани для системи з

передатною функцією:

Рішення

  1. Розділивши чисельник і знаменник вихідної передатної функції на Z3 одержимо:

По передатній функції побудуємо модель у формі структури називаною канонічною формою програмування цифрових фільтрів (рис.15.26):

0.02

0.5

0.025

T

T

T

2.6

1.9

0.4

Y(k)

U(k)

0.02

0.5

2.6

Рис.15.26

Тоді рівняння стану запишуться у вигляді:

X1(k+1) = X2(k)

X2(k+1) = X3(k)

X3(k+1) = 0.4X1(k)- 1.9X2(k)+2.6X3(k)+U(k)

Y(k) = 0.025X1(k)+0.5X2(k)+0.02X3(k)

Ці рівняння представимо у векторно-матричній формі:

3.Одержати модель у змінні стани для системи з

передатною функцією:

Рішення

Розділивши чисельник і знаменник вихідної передатної

функції на Z2 одержимо:

По передатній функції побудуємо модель у формі структури

називаною канонічною формою програмування цифрових

фільтрів (рис.15.27):

0.5

T

T

Y(k)

2

1

U(k)

0.5

1

Z-1

Z-1

2

Рис.15.27

Тоді рівняння стану запишуться у вигляді:

X1(k+1) = X2(k)

X2(k+1) = X1(k) – 2 X2(k) + U(k)

Y(k) = 0.5X1(k)

Ці рівняння представимо у векторної матричній формі:

4.Запишіть різницеве рівняння для передатної функції:

Рішення

  1. Розділивши чисельник і знаменник вихідної передатної функції на Z одержимо:

2. Тоді різницеве рівняння запишеться у вигляді:

М(к) - 0.9М(k-1) = 0.1Е(к)

5. Запишіть різницеве рівняння для передатної функції:

Рішення

1. Розділивши чисельник і знаменник вихідної передатної

функції на Z2 одержимо:

2. Тоді різницеве рівняння запишеться у вигляді:

M(k) - 1.8M( k-1) + 0.9M( k-1) = E(k) - 1.7E( k-1) +0.9E( k-2)

6. Передатна функція розімкнутої дискретної системи має

вид:

Знайти умову стійкості замкнутої системи й побудувати

перехідний процес при подачі на вхід системи одиничної

східчастої функції g(t) = 1(t) при КТ=1.5.

Рішення

1. Передатна функція замкнутої системи

2.Розглянемо характеристичне рівняння замкнутої системи

Z - 1 + KT=0

3. Зробимо в цьому рівнянні підстановку

Тоді ( 2- KT)ω +KT = 0

4. З останнього рівняння визначаємо умови стійкості

2- KT >0 або КТ < 2

5. При КТ= 1.5, передатна функція замкнутої системи

буде дорівнює

6. Зображення вхідної величини

7. Зображення вихідної величини

8. Розкладемо вираження в ряд Лорана за допомогою розподілу

чисельника на знаменник. У результаті одержимо

Y(z) = 1.5 Z-1+0.7 Z-2+1.125 Z-3+0.9375 Z-4+……

Звідки Y[0]=0; Y[1]=1.5;Y[2]=0.75;Y[3]=1.125;Y[4]=0.9375....

за отриманим даними на рис.15.28 побудований графік

перехідного процесу

Y(t)

1.5

1.0

0.94

0.75

0.5 Рис.15.28

T 2T 3T 4T 5T t,c

7. Обчислити Z- перетворення для функції часу,

зображення Лапласа якої

Рішення

1. Розкладаємо зображення на прості дроби

Після приведення до загального знаменника знаходимо

K = АТ1Р+А+ВР

А=K, АТ1+В=0, В = - КТ1

Отже

Відповідно до таблиці Z - перетворень маємо:

Ткв – інтервал квантування.

8. Знайти рішення рівняння стану системи,

за допомогою Z - перетворення:

Рішення

1. Для рішення рівняння скористаємося вираженням:

2. З вихідного рівняння маємо:

Зображення одиничного стрибка 3. Визначимо:

4. Отже:

5. Думаючи, що Х(0)=0, одержимо:

9.Визначити передатну функцію дискретної системи,

якщо рівняння стану має вигляд:

Рішення

1. Для знаходження передатної функції G(z) скористаємося

вираженням: