13.2.2 Метод гармонійного балансу

Розглянутий критерій Бендіксона застосовний тільки для систем другого порядку. Проте більшість реальних систем автоматичного управління описуються рівняннями вищого порядку. Найбільш поширеним методом дослідження таких систем на практиці є метод гармонійного балансу.

Метод гармонійного балансу був запропонований для визначення автоколивань в нелінійній системі Л.С. Гольдфарбом. Цей метод заснований на застосуванні частотних характеристик нелінійної системи, що отримуються в результаті гармонійної лінеаризації, у зв'язку з чим і застосовується для наближеного дослідження.

Досліджувана нелінійна система повинна бути представима у вигляді замкнутої системи, що складається з лінійної частини, що характеризується амплитудно-фазовою характеристикою – Wл(iω)і об'єднуючою всі лінійні елементи системи, і нелінійної ланки з характеристикою уне = F(y) (рис. 13.3).

Рис. 13.3 Структурна схема нелінійної системи

До нелінійного елементу пред'являється єдина вимога, що він не повинен бути частото-перетворюючим. Нелінійність може бути як статичною, так і динамічною.

Лінійна частина повинна бути фільтром високих частот. Подібне спрощення для більшості промислових систем регулювання не несе значних помилок.

Для застосування методу гармонійного балансу нелінійна ланка повинна бути лінеаризована методом гармонійної лінеаризації, при якому не враховуються старші гармонійні складові на виході цієї ланки. Якщо на вхід цієї ланки подається гармонійний сигнал частоти ω0, то на його виході встановлюються коливання, що містять суму гармонік з частотою ω0, 2ω0, 3ω0, ... Кожна з цих гармонік поступає на вхід лінійної частини і, проходячи через неї, змінює свою амплітуду в Мл(kω0) разів, де Мл(ω) - амплітудно-частотна характеристика лінійної частини. Але для того, щоб виконувалася для лінійної частини гіпотеза фільтру високої частоти, АЧХ лінійної частини повинна задовольняти умові

тобто АЧХ повинна бути однією з видів, представлених на рис. 13.4.

Амплітудно-частотна характеристика, представлена на рис. 13.4, а, називається характеристикою типу фільтра. Система з такою характеристикою не пропускає високі частоти. Інший вид АЧХ (рис. 13.4, б) відноситься до характеристик резонансного типу. Система пропускає тут ряд частот, відмінних від ω0, але ці частоти трохи відхиляються від ω0, останні не проходять. Таким чином, вихідний сигнал лінійної частини практично міститиме лише першу гармоніку з частотою ω0.

Рис. 13.4 Амплітудно-частотні характеристики лінійної частини:

а - типу фільтра; б - резонансного типу.

Дана нелінійна система замінюється лінеаризованою системою, в якій нелінійна ланка замінена лінеаризованою і описується еквівалентною амплитудно-фазовою характеристикою

Оскільки автоколиваннями є незгасаючі коливання в нелінійній системі, то в замкнутій лінеаризованій системі виникнення незгасаючих коливань за рахунок першої гармоніки можливо тільки в єдиному випадку, коли ця система знаходиться на межі стійкості. В цьому випадку характеристичне рівняння замкнутої системи повинне мати пару чисто уявних коренів. Відповідно до критерію Найквіста амплитудно-фазова характеристика розімкнутої системи

повинна проходити через точку з координатами (-1, і0). Отже,

або

Рівняння (13.2) зводиться до наступних двох рівнянь

Рівняння (13.2), а також (13.3) визначають амплітуду Аа і частоту ωа періодичного рішення, тобто гармонійний сигнал після проходження нелінійної ланки і лінійної частини повинен мати на вході в нелінійну ланку знову ту ж частоту і амплітуду. Якщо вирішення (Аа, ωа) системи (13.3) буде дійсне позитивне, то в даній системі можливі автоколивання з частотою ωа і амплітудою Аа.

На практиці рівняння (13.2) зазвичай вирішується графічно. Для цього на комплексній площині з координатами Re(ω), іIm(ω) викреслюються амплитудно-фазова характеристика лінійної частини Wл(ω) і інверсна амплитудно-фазова характеристика нелінійної ланки із зворотним знаком -Zне(іA) (рис. 13.5). Точка перетину цих кривих свідчить про те, що вирішення системи (13.2) існує (рис. 13.5, а), а значить в даній системі можливі

Рис. 13.5 Графічний метод визначення автоколивань:

а — автоколивання існують - точка М; б - автоколивання не існують.

коливання, отже, в початковій нелінійній системі можливі автоколивання, параметри яких визначаються координатами точки М перетину годографів Wл(iω) і -Zне(iA). Амплітуда автоколивань визначається по -Zне(iA), aчастота - по Wл(iω). Якщо криві Wл(iω) і -Zне(iA) не перетинаються (рис. 13.5, б), то в розглядуємій системі автоколивання відсутні.

Графічне вирішення рівняння (13.2) дозволило формально знайти періодичне рішення, оскільки фізично можливі лише стійкі періодичні коливання. У зв'язку з цим виникає ще проблема дослідження стійкості знайдених автоколивань. Для дослідження стійкості автоколивань метод гармонійного балансу припускає застосування критерію, витікаючого з критерію Найквіста.

Якщо АФХ лінійної частини не охоплює інверсну АФХ нелінійного елементу, тобто

і, отже,

(АФХ розімкнутої системи не охоплює точку з координатами (-1, і0)), то замкнута система буде стійкою.

Якщо АФХ лінійної частини охоплює інверсну АФХ нелінійного елементу

,

(АФХ розімкнутої системи охоплює точку з координатами (-1, і0)), то замкнута система буде нестійкою.

Наявності автоколивань в нелінійній системі відповідає факт знаходження лінеаризованої системи на межі стійкості, тому для дослідження їх стійкості передбачається, що під дією збурень лінеаризована система зрушується з межі стійкості. Подальший рух системи оцінюється після приведеного вище аналогу критерію Найквіста.

Хай автоколиванням в системі відповідає точка М (рис. 13.6, а). В результаті дії збурень система змістилася в точку М1, якій відповідає новий стан нелінійної системи, що характеризується зростанням амплітуди у разі руху по кривій управо. Точка М1 знаходиться зовні АФХ лінійної частини, отже, згідно аналогу критерію Найквіста система в цьому випадку поводитиметься як стійка, тоді коливання в ній затухатимуть, тобто амплітуда коливань зменшуватиметься. Останнє через деякий час приведе до того, що амплітуда коливань стане рівна початковій амплітуді автоколивань Аа, тобто система повернеться в стан, що характеризується точкою М.

Рис. 13.6 Дослідження стійкості автоколивань:

а - стійкі автоколивання; б - нестійкі автоколивання.

Якщо з якої-небудь причини амплітуда в системі зменшиться, новому стану системи відповідатиме точка М2, що знаходиться усередині АФХ лінійної частини. В цьому випадку, застосовуючи аналог критерію Найквіста, видно, що тут система поводиться як нестійка система. Амплітуда коливань, отже, зростатиме, але не до безкінечності, а до амплітуди автоколивань Аа. Таким чином, система знову повернеться в стан, відповідний режиму автоколивань, - точку М. Отже, у всіх випадках відбувається повернення системи в режим автоколивань, що і говорить про те, що автоколивання будуть стійкими.

На рис. 13.6. б зображені годографи АФХ лінійної частини і інверсної АФХ нелінійного елементу із зворотним знаком, відповідні нестійким коливанням в системі. Режиму автоколивань відповідає точка М. Якщо відхилення від цього режиму приводить в стан, що характеризується точкою М1, то через критерій Найквіста ця точка не охоплює АФХ лінійної частини, отже, система поводитиметься як стійка. Коливання в такій системі затухають, тобто амплітуда зменшується, і рух відбуватиметься по кривій , віддаляючись від точки М. Якщо ж через діючі збурення відбудеться збільшення амплітуди коливань, і система прийме стан, що відповідає точці М2, яка охоплює АФХ лінійної частини, то через критерій стійкості система поводитиметься як нестійка. Амплітуда коливань зростатиме, і рух відбуватиметься по кривій - убік протилежний від точки М . Тут повернення в точку М неможливе. Таким чином, розташування кривих Wл(iω) і -Zне(iA) на рис. 13.6, б відповідає випадку, коли автоколивання в системі нестійкі.

В підсумок, слід зазначити, що застосування методу гармонійного балансу зводиться до гармонійної лінеаризації нелінійного елементу, побудови частотних характеристик, з подальшим їх аналізом.

Приклад 13.2 Визначити амплітуду і частоту автоколивань системи, що складається з лінійної частини з передаточною функцією

і трьохпозиційного реле (рис.13.7).

Рис. 13.7 Статична характеристика трьохпозиційного реле.

В результаті гармонійної лінеаризації отримують, що

На рис. 13.8 приведені -Zне(iA).

Рис. 13.8 Визначення амплітуди і частоти автоколивань

Ці характеристики перетинаються в двох точках М1 і М2. Точка М1 відповідає нестійким коливанням, а М2 - стійким, параметри яких

, якщо , .