6.8.3 Критерій найквіста

Цей частотний критерій, розроблений в 1932 р. американським вченим Найквістом, дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по вигляду АФХ розімкненої системи.

Нехай передаточна функція розімкненої системи має вигляд

Передаточна функція замкнутою АСР по каналу управління:

Характеристичне рівняння розімкненої системи (n-гопорядку) визначено, як Характеристичне рівняння замкнутої системи (n-гопорядку) виражається як

Розглянемо вираз

де -характеристичні поліноми, відповідно, замкнутої і розімкненої АСР. Підставляючи s= , отримаєм

– АФХ розімкненої системи (рис. 6.24).

АФХ розімкненої системи (рис. 6.24).

Вектор отже, включає властивості замкнутої і розімкненої системи, і по тому, як поводиться відносно можна зробити вивід про стійкість замкнутої системи. Надалі розглядається АФХ, відповідна додатним частотам.

Виділимо три випадки стану рівноваги розімкненої системи: стійка, нейтральна, нестійка.

1 случай – система в розімкненому стані стійка. Тоді зміна аргументу характеристичного полінома розімкненої системи згідно критерію стійкості Міхайлова буде рівна(6.48):

Для того, щоб замкнута система була стійка, повинна виконуватися рівність (6.48):

Звідси витікає, що приріст аргументу вектора дорівнює нулю:

Співвідношення (6.52) означає, що для стійкості замкнутої системи необхідно, щоб вектор початок якого знаходиться в точці а кінець, ковзаючи по АФХ розімкненої системи, не охоплював точку при зміні ω від 0 до∞ (рис. 6.25).

Таким чином, критерій Найквіста свідчить:

Якщо розімкнена система автоматичного управління стійка, то замкнута система автоматичного управління буде стійка, якщо амплітудно-фазова характеристика розімкненоїсистеми не охоплює точку при змініω від0 до ∞.

2 случай – система в розімкненому стані нестійка.

При розгляді багатоконтурних і одноконтурних систем регулювання, що містять нестійкі ланки, розімкнена система може виявитися нестійкою.

Хай в розімкненому стані система нестійка, при цьому характеристичне рівняння розімкненої системи має m коренів в правій напівплощині. Тоді згідно принципу аргументу (6.25):

Щоб система в замкнутому стані була стійка, то повинна виконуватися рівність (6.48):

В цьому випадку кут повороту вектора буде рівний

Останнє говорить про те, що АФХ функції при зміні частоти від 0 до ∞ охоплює початок координат в додатному напрямі раз.

Число оборотів вектора навколо початку координат рівно числу оборотів вектора АФХ розімкненої системи навколо точки . На підставі цього витікає наступне формулювання критерію Найквіста.

Якщо розімкнена система автоматичного управління нестійка, то для того, щоб замкнута система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб АФХ розімкненої системи при зміні частоти від 0 до ∞охоплювала точку у додатному напрямі раз, де m – число правих коренів характеристичного рівняння розімкненої системи.

На рис. 6.26зображені як приклад АФХ і АФХ розімкненої системи, відповідні стійкій замкнутій системі, яка в розімкненому стані нестійка і .

При складній формі можуть виникнути ускладнення при визначенні числа її оборотів навколо точки (–1, i0). В цьому випадку зручно застосовувати "правило переходів", запропоноване Я. З. Ципкиним

Назвемо перехід через дійсну вісь при зростанні ωдодатним, якщо він відбувається зверху вниз, і від’ємним, якщо він відбувається від низу до верху. Якщо починається або закінчується на осі, то вона здійснює півпереход. Тоді критерій Найквіста можна сформулювати таким чином.

Якщо розімкнена система автоматичного управління нестійка, то для того, щоб замкнута система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб різниця між числом додатних і від’ємних переходів АФХ розімкненої системи через відрізок дійсної осі при зміні частоти від 0 до ∞ була рівна , де m–число правих коренів характеристичного рівняння.

Як приклад на рис. 6.27зображена АФХ розімкненої системи: число правих коренів ; число переходів – два додатних, один від’ємний, їх різниця рівна отже, замкнута система стійка.

3 случай – система в розімкненому стані нейтральна.

В цьому випадку система повинна містити інтегруючі ланки, і тоді характеристичне рівняння розімкненої системи має корені, рівні нулю, і записується у вигляді

де ν – порядок астатизму; – поліном, що не має коренів, рівних нулю.

Амплітудно-фазова характеристика розімкненої системи записується у вигляді

При і АФХ зазнає розрив, тому вирішувати питання про стійкість замкнутої системи важко, оскільки неясно, охоплює АФХ точку (–1, i0) чи ні.

Щоб зберегти формулювання критерію для стійких в розімкненому стані систем, при побудові годографа Міхайлова при зміні частоти від –∞ до +∞ обходять початок координат по півколу нескінченно малого радіусуr. Тоді нульові корені дають такий же кут повороту, як ліві корені, тобто кожен з векторів обернеться на кут π (рис. 6.28).

Обходу початку координат по малій дузі відповідає передаточна функція розімкненої системи

При радіус , а аргумент ψ міняється від до при зміні від до .

Таким чином, при русі по півколу нескінченно малого радіусу в площині коренів АФХ розімкненої системи сама може бути представлена у вигляді вектора нескінченно великої довжини, що повертається на комплексній площині за годинниковою стрілкою на кут, рівний – .

При зміні ω від 0 до ∞, тобто змінюється по дузі нескінченно великого радіусу, описуючи кут від 0 до (рис. 6.29). Критерій Найквіста формулюється таким чином.

Система автоматичного регулювання, нейтральна в розімкненому стані, стійка в замкнутому стані, якщо АФХ розімкненої системи з його доповненням в нескінченності не охоплює точку при зміні ω від0 до ∞.

Як видно з рис. 6.29, якщо розімкнена система має астатизм першого порядку, то замкнута система стійка, оскільки точка не охоплюється, якщо ж астатизм буде другого порядку, то замкнута система нестійка – точка охоплюється АФХ розімкненої системи.

Перевагами критерію Найквіста є:

1) застосовність при невідомих рівняннях деяких ланок розімкненої системи;

2) можливість дослідження стійкості систем із запізнюванням.

Приклад 6.3 Дослідити стійкість системи критерієм Міхайлова, якщо характеристичне рівняння системи має вигляд

Замінюючи , знаходяться дійсна і уявна функції Міхайлова:

звідки

Годограф Міхайлова зображений на рис. 6.30. Його аналіз показує, що система нестійка. Якщо використовувати слідство, то Вирішення цих рівнянь дає:

Оскільки є комплексно-зв'язані корені, то система нестійка.

Приклад 6.4 Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання (рис. 6.31), якщо

У розімкненому стані система автоматичного регулювання стійка. Амплітудно-фазова характеристика розімкненої системи записується:

і зображена на рис. 6.32.

Оскільки амплітудно-фазова характеристика розімкненої системи не охоплює точку з координатами то замкнута система стійка.