14.2. Структура рішення рівнянь змінні стану

Розглянемо лінійну однорідну систему з постійними коефіцієнтами

(14.4)

Рішення її X(t) характеризує вільне поводження системи. Нехай вектор початкових умов має вигляд

(14.5)

Розкладемо шуканий вектор X(t) у статечний ряд по t:

(14.6)

Диференціюючи (14.4), знайдемо

і т.д. (14.7)

Тоді при t=0 одержимо

= (14.8)

У підсумку ряд (14.6) можна переписати у вигляді

(14.9)

Підставляючи е^АtХ₀у вихідне рівняння (14.4), легко переконатися, що (14.9) являє собою рішення. Думаючи в (14.9) t=0, одержимо X₀.

Таким чином, інтегрування однорідної системи (14.4) зводиться до обчислення матриці е^Аt і множенню її на вектор початкових умов X₀. Матриця е^Аt називається матричною експонентою. У теорії керування вона часто називається перехідною матрицею стану.

Рішення однорідного рівняння (14.4) має вигляд

(14.10)

Якщо рух починається в момент часу t=t₀, то рішення приймає форму

(14.11)

Матриця може бути представлена у вигляді розкладання в матричний статечний ряд

який сходиться абсолютно й рівномірно при будь-якому значенні t.

Основні властивості матриці е^Аt :

1. Матриці й комутирують, тобто

(14.13)

2. Матриця е^Аt - завжди неособлива, її зворотна матриця

(е^Аt)^-1= е^-At . (14.14)

3. Якщо АВ=ВА, то

е^(A+B)= е^Ае^В= е^Ве^А . (14.15)

4. Похідна е^Аt

Це означає, що матриця е^Аt комутирує з A.

5. Інтеграл е^Аt

звідки

Якщо матриця А - неособлива, одержимо

Для рішення неоднорідного рівняння перетворимо його до виду

і помножимо ліворуч на е^-At

Ліва частина рівняння

оскільки

Тоді

Інтегрування останнього вираження дає

Множачи отримане рівняння ліворуч на е^Аt і з огляду на властивість (14.14), одержимо остаточно

Першийдодатокв (14.19) являєсобоюрішенняоднорідногодиференціальногоматричногорівнянняіописуєвільнийрухсистеми, викликанийпочатковимиумовами, другийдодаток – змушенийрухпідвпливомзовнішньоговпливу U(t).

Тоді повне рішення системи (14.1) має вигляд