Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

4.1 Елементи теорії функції комплексного змінного

Комплексним числом називається число, визначуване співвідношенням де і – відповідно дійсна і уявна частини числа.Така форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.На комплексній площині, в координатах Rе (дійсна частина) і Im (уявна частина), комплексне число геометрично представляється вектором; воно може бути зображене також в полярних координатах (модуль) і (фаза) і записано в показовій формі: ,

де – довжина вектора, що з’єднує початок координат з точкою ; – кут між додатноючастиною дійсної осі і вектором , причому додатним напрямом вважається напрям відліку проти годинникової стрілки.

Третя форма запису комплексного числа – тригонометрична, оскільки ,

Всі складові комплексного числа зв'язані між собою наступними співвідношеннями:

При обчисленні фази (аргументу) числа необхідно враховувати, в якому квадранті знаходиться точка . Нижче приводяться формули, по яких обчислення фази зводиться до визначення гострого кута, рівного (рис 4.1).

I квадрант	,
II квадрант	,
III квадрант	,
IV квадрант	,

Рис. 4.1 Визначення фази залежно від розташування коріння

Для спрощення операцій над комплексними числами корисно знати, що

Над комплексними числами проводять ті ж арифметичні операції (складання, віднімання, множення, ділення), що і над дійсними. Складання і віднімання зручніше проводити над комплексними числами, записаними у формі алгебри:

а множення і ділення над числами, записаними в показовій формі:

;

Якщо аргумент функції – комплексне число, то функція є функцією комплексного змінного. Наприклад, функція , .

Таким чином, можна сказати, що функцією комплексного змінного називається деякий оператор (правило), згідно якому точці однієї площини комплексного змінного ставиться у відповідність точка іншої площини комплексного змінного (рис. 4.3).

Рис. 4.2 До визначення функції комплексною змінною

Рис. 4.3 Конформне відображення

Якщо функція відноситься до класу аналітичних функцій (безперервна, гладка, така, що майже усюди диференціюється), то така функція підкоряється принципам конформного відображення, основними властивостями якого є наступні:

1 Лінія однієї комплексної площини відображається в лінію іншої комплексної площини (рис. 4.3).

2 Нескінченно малий кут відображається в такий же нескінченно малий кут, кути при цьому зберігаються (рис. 4.3).

3 Нескінченно малий трикутник відображається в такий же рівний йому нескінченно малий трикутник. Напрям обходу кутів зберігається. Внутрішня область одного трикутника перетвориться у внутрішню область іншого трикутника (рис. 4.3).

Содержание