3.1 Основні способи математичного опису. Рівняння руху.

Математичний опис автоматичної системи управління – це опис процесів, що протікають в системі на мові математики.

Побудова будь-якої системи управління починається з вивчення об'єкту управління і складання його математичного опису.

Як об'єкт може виступати апарат, технологічний процес, виробництво, підприємство і галузь. Відмінність математичних моделей об'єктів зумовлюється їх призначенням. Ці моделі описують різні режими роботи об'єкту або системи управління і можуть бути отримані одним із способів: експериментальним, аналітичним, комбінованим або експериментально-аналітичним.

При експериментальному способі рівняння моделей отримують шляхом постановки спеціальних експериментів (метод активного експерименту) або шляхом статистичної обробки результатів тривалої реєстрації змінних об'єкту в умовах його нормальної експлуатації (метод пасивного експерименту).

При аналітичному описі рівняння моделей отримують на підставі физико-хімічних закономірностей протікаючих процесів.

При експериментально-аналітичному підході рівняння моделей отримують аналітичним шляхом з подальшим уточненням параметрів цих рівнянь експериментальними методами.

При розробці математичного опису автоматичних систем слід враховувати основні методологічні положення теорії автоматичного управління. Це перш за все системний підхід до вирішення завдань управління, що розглядає поведінку об'єкту і регулятора в процесі регулювання в нерозривному взаємозв'язку; можливість застосування методів теорії автоматичного управління до систем найрізноманітнішої фізичної природи унаслідок абстрагування математичних моделей від конкретних фізичних систем. Крім того, система розглядається як ланцюг елементів, що взаємодіють фізично і інформаційно і здатна передавати фізичні дії і інформаційні сигнали в одному, строго певному напрямі; кожен же елемент системи розглядається як перетворювач вхідної дії у вихідну реакцію. Математичний опис як окремих елементів, так і системи в цілому складається, як правило, з ряду допущень і спрощень, вдалість яких залежить від глибини знань дослідника системи в даній області, його інтуїції і обов'язково підлягає експериментальній перевірці.

У загальному випадку рівняння математичної моделі об'єкту або системи управління, що встановлюють взаємозв'язок між вхідними і вихідними змінними, називаються рівняннями руху.

Рівняння, що описують поведінку системи регулювання в сталому режимі при постійних діях, називаються рівняннями статики.

Рівняння, що описують поведінку системи регулювання при несталому режимі при довільних вхідних діях, називаються рівняннями динаміки.

Всі об'єкти регулювання можна розділити на два класи: об'єкти із зосередженими координатами, динаміка яких описується звичайними диференціальними рівняннями, і об'єкти з розподіленими координатами, динаміка яких описується диференціальними рівняннями в часних похідних. Надалі розглядаються тільки об'єкти із зосередженими координатами.

Як приклад можна розглянути об'єкт із зосередженими координатами, що описується диференціальним рівнянням другого порядку (рис. 1.2)

де – вихідна змінна; – вхідні змінні; – перші похідні за часом; –друга похідна за часом.

При постійних вхідних діях з часом вихідна величина приймає постійне значення і рівняння (3.1) перетвориться до вигляду:

Кінцеве рівняння (3.2) є рівнянням статики.

Статичний режим можна характеризувати за допомогою статичних характеристик.

Статичною характеристикою об'єкту (системи) називається залежність вихідної величини від вхідної в статичному режимі.

Статичну характеристику можна побудувати експериментально, якщо подавати на вхід об'єкту постійні дії і заміряти вихідну змінну після закінчення перехідного процесу. Якщо об'єкт має декілька входів, то він характеризується сімейством статичних характеристик. У свою чергу, сама статична характеристика характеризується коефіцієнтом який визначається як . Для об'єктів з нелінійною статичною характеристикою коефіцієнт підсилення є змінною величиною, для об'єктів же з лінійними статичними характеристиками коефіцієнт підсилення – величина постійна (рис. 3.1).