15.9 Точність і корекція імпульсних систем

Точність імпульсних систем.Для імпульсних систем, як і для безперервних, уведені визначення статичної помилки, астатизму, коефіцієнтів помилок, помилки при гармонійному впливі, а також середньої квадратичної помилки.

Сталі помилки. Точність роботи імпульсних систем у сталому режимі оцінюється по величині сталої помилки при різних типових вхідних впливах, найбільш характерних для досліджуваної системи.

У замкнутій імпульсній системі (рис. 15.10) помилка x, що задає вплив g і обурює вплив f зв'язані, як треба з виражень (15.73) і (15.76), що випливає залежністю відносно z-зображень

X(z,) = Xg(z,) + Xf(z,) =

Вираження (1.105) містить z-зображення двох складові помилки: X_g(z,) - від що задає й X_f(z,) - від обурюючи впливів.

Стала помилка імпульсної системи визначається за граничним значенням ґратчастої функції (15.37):

де x_g(,) - стала помилка від впливу, що задає;

x_f(,) - стала помилка від впливу, що обурює.

У більшості випадків обмежуються розглядом помилки в дискретні моменти часу t = nT. Однак, треба мати на увазі, що в імпульсних системах можуть виникати малі коливання усередині періоду дискретності в сталому режимі.

Вираження для сталої помилки (15.106) при σ = 0 буде

Сталі помилки замкнутої імпульсної системи від впливу, що задає, перебувають при f = 0.

При g(t) = g₀1(t) стала помилка визначається як

і називається статичною помилкою або помилкою системи по положенню.

При g(t) = g₁t стала помилка називається помилкою системи від швидкості й визначається як

Якщо , то одержуємо помилку системи від прискорення

З останніх двох виражень треба, що стала помилка від впливу, що задає, імпульсної системи не тільки прямо пропорційна величині впливу, що задає, але й періоду дискретності.

Імпульсні системи класифікуються відповідно до числа полюсів дискретної передатної функції розімкнутої системи W(z) при z = 1. Якщо дискретна передатна функція імпульсної розімкнутої системи

а W₁(z) не містить полюсів при z = 1, то при r = 0 система називається статичною, при r = 1 - астатичної першого порядку й т.д. В астатичних системах W(1)→∞.

Для того щоб імпульсна система мала нульову сталу помилку від впливу, що задає, необхідно, щоб ступінь астатизму r системи перевищувала ступінь полінома k вхідного впливу, тобто

x_g() = 0, якщо k < r ;

якщо k = r ;

xg() = , якщо k > r .

Коефіцієнти помилок. Якщо вплив, що задає, g(t) має довільний вигляд, граничне значення помилки обчислюється по формулі

де c₀, c₁, c₂, ... - коефіцієнти помилок по положенню, швидкості, прискоренню й т.д.

Коефіцієнти помилок знаходять по дискретній передатній функції замкнутої імпульсної системи помилково

для i = 0, 1, 2, ..., k. (15.109)

Число коефіцієнтів відповідає найбільшим ступенем полінома вхідного впливу.

В астатичних системах трохи перших коефіцієнтів помилок дорівнюють нулю: c₀ = c₁ = ... = c_r-1 = 0, де r - ступінь астатизму.

Помилки імпульсних систем при гармонійному впливі. синусоїдальний вплив, що задає, g(t) = g_msin(t) довільної частоти ( перетвориться на вході в ґратчастий гармонійний вплив g[nТ] = g_m sin[ωnT].

При цьому стала помилка в лінійній замкнутій імпульсній системі буде

x[nT] = x_m sin[nT+], (15.110)

де x_m = Ф_xg(e^jT)g_m , () = arg Ф_xg(e^jT).

У смузі пропущення системи частотні характеристики імпульсної системи практично збігаються із частотними характеристиками її безперервної частини, тому для визначення помилки імпульсної системи при гармонійному впливі можна користуватися методикою для безперервних систем.

Статистична точність імпульсних систем досліджується аналогічно безперервним системам. При проходженні випадкового сигналу через імпульсну систему її вихідна координата й помилка відтворення являють собою теж випадкові процеси.

Якість роботи імпульсної системи при стаціонарних випадкових впливах оцінюється середніми значеннями квадрата вихідний змінної

і квадрата помилки

де Ф(e^jT) і Ф_xg(e^jT) - частотні передатні функції замкнутої імпульсної системи;

- спектральна щільність ґратчастого випадкового процесу на вході системи.

Корекція імпульсних систем. Введення в систему коригувальних пристроїв необхідно, щоб у результаті цього система задовольняла заданим вимогам по точності й по якості процесу керування, у тому числі перехідних процесів.

Виходячи з вимог складаються бажані характеристики імпульсної системи. Щоб їх реально одержати, у систему вводяться коригувальні пристрої. Для корекції імпульсних систем є більша розмаїтість технічних засобів, чим у безперервних систем, тому що крім безперервних коригувальних пристроїв можна вводити імпульсні й цифрові. Крім того, шляхом корекції імпульсних систем можливе досягнення кінцевої тривалості перехідних процесів.

Безперервна корекція. У випадку безперервної корекції змінюють характеристики безперервної частини імпульсної системи шляхом введення або послідовних або паралельних коригувальних пристроїв, або місцевого негативного або позитивного зворотного зв'язка, у результаті чого формується передатна функція скоректованої системи.

При розрахунку безперервних коригувальних ланцюгів доцільно перейти від бажаної характеристики імпульсної системи до бажаної характеристики її безперервної частини. Після знаходження бажаних характеристик безперервної частини завдання синтезу вирішується так само, як вона вирішувалася для звичайних лінійних систем автоматичного керування.

Імпульсна корекція здійснюється включенням у контур системи імпульсного фільтра, що перетворить вхідний сигнал x у послідовність імпульсів u. Імпульси на виході фільтра утворяться шляхом амплітудноімпульсної модуляції вхідного впливу з необхідними для корекції системи перетвореннями

де w_k[n] - імпульсна функція безперервної частини імпульсного фільтра.

Звідси передатна функція імпульсного фільтра визначається як

W_k(z) = Z{w_k[n]}. (15.114)

Далі по передатній функції (15.114) з таблиць перебувають імпульсні коригувальні ланцюги.

Найбільше просто імпульсні коригувальні пристрої реалізуються за допомогою імпульсних RC-ланцюгів. Розрізняють три структури імпульсних RC-ланцюгів: послідовну, зі зворотним зв'язком і з каскадним з'єднанням імпульсних ланцюгів перших двох структур.

Цифрові коригувальні фільтри реалізуються за допомогою цифрового обчислювача. У цьому випадку вхідний сигнал фільтра x перетвориться в аналого-цифровому перетворювачі, і далі рішення різницевого рівняння на цифровому обчислювачі u виводиться в безперервну частину імпульсної системи через цифро-аналоговий перетворювач.

У цей час широке поширення одержали цифрові системи, у яких функцію обчислювального пристрою виконують мікропроцесори й комп'ютери.

Синтез цифрових систем зводиться до вибору цифрового коригувального фільтра, послідовне включення якого з безперервною частиною системи, що звичайно включає в себе об'єкт керування, регулювальний орган, виконавчий механізм, підсилювач потужності й датчик, дозволяє одержати систему з бажаними характеристиками. Часто як такі характеристики використовують аналогові еквіваленти: імпульсні функції, перехідні функції й частотні характеристики, що обґрунтовано, як відзначалося вище, при досить високій тактовій частоті роботи цифрового обчислювача й великої розрядності перетворювачів.

Розглянемо синтез цифрової системи, імпульсна функція розімкнутого ланцюга якої повинна відповідати імпульсній функції аналогового еквівалента, тобто wц[n] = wa(t)t=nT.

Передатна функція розімкнутого ланцюга аналогового еквівалента визначається як зображення по Лапласові, тобто

W_а(s) = L[w_а(t)].

На підставі вираження (15.64) дискретна передатна функція цифрового коригувального пристрою може бути отримана в такий спосіб

де W_БЧ(s) - передатна функція безперервної частини цифрової системи.

Цифрова система, спроектована таким чином, збігається по своїх властивостях з аналоговим еквівалентом тільки в змісті рівності дискретних значень імпульсних функцій, тобто при впливі, що задає, у вигляді (-функцій. При інших вхідних впливах збіг дискретних значень вихідної величини в цифровій системі й аналоговому еквіваленті не гарантується.

Синтез цифрових систем, що гарантує збіг перехідних процесів у проектованій системі і її аналоговому еквіваленті, виробляється аналогічним образом, з огляду на що

W_а(s) = sL[h_а(t)],

де h_а(t) - перехідна функція аналогового еквівалента.

У цифрових системах, дискретна передатна функція розімкнутого ланцюга яких

перехідний процес закінчується за кінцевий проміжок часу, рівний mT; у наступні дискретні моменти часу значення h[n] не змінюються й залишаються рівними h[m].

Якщо нулі й полюси передатної функції безперервної частини цифрової системи на площині комплексного змінного z розташовані усередині кола одиничного радіуса, то можна спроектувати систему, у якій тривалість перехідного процесу рівняється одному періоду дискретності T.

При синтезі цифрових систем у частотній області бажана дискретна передатна функція проектованої системи визначається частотними характеристиками аналогового еквівалента. Зокрема, частотний метод синтезу дозволяє знайти передатну функцію розімкнутого ланцюга аналогового еквівалента W_а(s). Далі, як і в попередніх випадках, по вираженню (15.115) обчислюється дискретна передатна функція цифрового коригувального пристрою.

Після визначення передатних функцій коригувальних пристроїв наступним етапом синтезу цифрової системи є їхня технічна реалізація. Для цього використовуються наступні методи:

1) метод програмування, застосовуваний у мікропроцесорних системах і системах з комп'ютерами. Реалізація коригувального пристрою зводиться до складання програми по його різницевому рівнянню;

2) метод, що базується на використанні цифрових фільтрів, реалізованих на елементах цифрової техніки по алгоритму, обумовленому різницевим рівнянням коригувального пристрою.

Залежно від виду подання передатної функції цифрового фільтра розрізняють різноманітні форми його структурних схем.

У самому загальному випадку дискретна передатна функція коригувального пристрою має вигляд

де U(z) і X(z) - z-перетворення вихідного й вхідного сигналів фільтра.

Ця передатна функція відповідає рекурсивному фільтру. Якщо A(z) = 0, то буде не рекурсивний фільтр.

З передатної функції (15.117) треба різницеве рівняння коригувального пристрою

рішення якого являє собою рекурентну формулу:

Структурна схемі програмної реалізації рішення різницевого рівняння (15.119) наведена на рис. 15.18. Вона відповідає прямому програмуванню. Для апаратної реалізації прямої схеми цифрового фільтра потрібно 2k ліній затримки.

Більше ощадливими є канонічні схеми, для реалізації яких потрібне кількість ліній затримки, рівна порядку передатної функції цифрового фільтра.

Для одержання першої канонічної схеми (рис. 15.19) рівняння (15.119) переписують у такий спосіб:

де f[n] - проміжна змінна.

Рис. 15.18. Пряма схема цифрового фільтра

Рис. 15.19. Перша канонічна схема цифрового фільтра

Друга канонічна схема цифрового фільтра (рис. 15.20) виходить аналогічним образом.

Рис. 15.20. Друга канонічна схема цифрового фільтра

Крім розглянутих канонічних структур існують і інші: послідовна й паралельна.

Для визначення послідовної канонічної схеми цифрового фільтра необхідно знайти нулі й полюси дискретної передатної функції фільтра. При цьому вираження (15.117) можна записати у вигляді

Таким чином, цифровий фільтр складається з послідовного з'єднання цифрових фільтрів першого порядку, що відповідають речовинним полюсам (рис. 15.21,а), і фільтрів другого порядку, що відповідають парі комплексно-комплексно-сполучених полюсів (рис. 15.21,б). Подання передатної функції у вигляді (15.120) називається послідовним програмуванням, а структура фільтра - послідовною канонічною схемою.

Подання передатної функції цифрового фільтра у вигляді

називають паралельним програмуванням. Цифровий фільтр у цьому випадку являє собою паралельне з'єднання фільтрів першого й другого порядків. Таку структуру називають паралельною канонічною схемою.

Рис. 15.21. Канонічна схема цифрового фільтра:

а - першого порядку; б - другого порядку

Крім того, на практиці широко використовуються типові цифрові коригувальні ланки.