logo search
Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

3.7 Інтеграл Дюамеля

Інтеграл Дюамеля використовується для визначення виходу об'єкту при довільному вхідному сигналі і відомих або .

Передбачається, що на вхід об'єкту, що описується ваговою функцією подається сигнал (рис. 3.12, а)докладний опис якого даний в п. 2.8.

Якщо реакцію об'єкту на позначити через (вагова функція)а реакцію на черезЌ (наближена вагова функція), то на підставі принципу суперпозиції можна записати вихідний сигнал на імпульс :

Рис. 3.12 Представлення вхідного (а) і вихідного сигналів (б)

Заміна вхідного сигналу набором імпульсів, висота яких співпадає з відповідними координатами (рис. 3.12), дозволяє записати реакцію на ступінчасту функцію на підставі принципу суперпозиції

Якщо тепер спрямувати , при цьому , , ; а , де – безперервний параметр, що показує зрушення кожного імпульсу, то остаточно отримуємо:

.

(3.13)

Останнє рівняння називається інтегралом Дюамеля (рівнянням згортки), що відображає зв'язок між входом, виходом об'єкту і його ваговою функцією.

По суті справи вагова функція є пам'яттю об'єкту, яка показує, як довго і як сильно впливає на об'єкт імпульсне збурення, подане на його вхід у момент часу . З фізичного сенсу вагової функції верхня межа інтеграції може бути замінена на оскільки неможливо представити реальну систему, в якій на вихідну координату в теперішній час впливають збурення, які з'являються в подальші моменти часу.

Якщо провести заміну у формулі (3.13) , , то можна записати симетричну формулу

(3.14)

Якщо для представлення вхідного сигналу використовувати не формулу (2.26), а (2.27), то інтеграл Дюамеля записується через перехідну функцію:

(3.15)

або