6.3.1 Поняття фазового простору

При розгляді стійкості руху надзвичайно корисним виявилося введення деяких наочних понять і представлень геометричного характеру. Основним з них є поняття фазового простору, введене академіком Андроновим.

Фазовим простором називається такий простір, в якому прямокутними координатами точки є величини, що визначають миттєвий стан системи, звані фазовими координатами.

Метод фазового простору застосовний як для лінійних, так і для нелінійних систем.

Будь-яке диференціальне рівняння n-гопорядку можна записати у вигляді системи з n лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

що описує перехідний процес за наявності збурень

У якості фазових координат вибирають вихідну координату системи і її похідні.

Точка фазового простору (рис. 6.6), що відповідає стану системи в даний момент часу t, називається зображаючою точкою(М).

Зміна стану системи в часі відповідатиме руху зображаючої точки, у фазовому просторі по певній траєкторії, яка називається фазовою траєкторією.

Кожному перехідному процесу в системі відповідає своя певна фазова траєкторія у фазовому просторі і навпаки.

Метод фазового простору набув найбільшого поширення при дослідженні систем другого порядку. В цьому випадку фазовим простором є площина. Система диференціальних рівнянь (6.7) для системи другого порядку в загальному випадку записується у вигляді:

Фазові траєкторії для систем другого порядку мають наступні властивості.

1 В кожній точці фазової площини можна провести єдину дотичну до фазової траєкторії, тобто через кожну точку фазової площини проходить тільки одна траєкторія, виняток становить початок координат:

Напрям дотичній на початку координат невизначено, при цьому початок координат, відповідний стану рівноваги системи, називається особливою точкою.

2 напрям руху на траєкторії відзначають стрілками. Рух зображаючої точки по фазовій траєкторії відбувається за годинниковою стрілкою навколо початку координат.

3 У точках y₁ = 0, y₂ = 0, т.е. У особливих точках, відбувається зупинка руху.

4 У системах другого порядку фазові траєкторії перетинають вісь абсцис під прямим кутом, оскільки при досягає свого максимуму.

5 У верхніх квадрантах координатної площини зображаюча точка, рухається завжди зліва направо, а в нижних– справа наліво, оскільки при змінна зростає, а при змінна убуває.

6 У будь-якій точці фазової площини, де змінна і функція не рівні нулю, фазова траєкторія має тільки один певний напрям, відповідний похідній у даній точці, звідки витікає, що фазові траєкторії не перетинаються.

Початкові умови перехідного процесу визначають координати початкової точки на фазовій траєкторії.

Сукупність фазових траєкторій, відповідних всім можливим в даній системі початковим умовам, називається фазовим портретом системи.