6.4 Поняття стійкості руху

Теорія стійкості руху була створена на початку нашого століття великим російським математиком Олександром Михайловичем Ляпуновим (1857 – 1918) у зв'язку із завданнями небесної механіки.

Будь-яка система, будь вона ідеальною (якщо на неї не діють ніякі збурення) або реальною, описується диференціальними рівняннями, вирішення яких визначає траєкторію її руху.

Рух називається незбуреним, якщо він отриманий в результаті розгляду системи, що ідеалізується.

Рух з урахуванням збурень, що виникають в реальній системі, називається збуреним.

Незбурений рух називається стійким, якщо достатньо малі збурення скільки завгодно мало відхиляють збурений рух від незбуреного. Якщо ж збурений рух помітно відхиляється від незбуреного при скільки завгодно слабких збуреннях, то він називається нестійким.

У теорії стійкості існують різні поняття (терміни), наприклад: орбітальна стійкість (стійкість по траєкторії), стійкість по Ляпунову, асимптотична стійкість і так далі.

Перш ніж перейти до визначення цих понять, необхідно уточнити, що розуміється під малими збуреннями. Будь-які збурення можна розділити на два типи.

1 Імпульсні збурення.

Збурення називається імпульсним, якщо воно діє протягом короткого проміжку часу (рис. 6.13, а). Імпульс вважають миттєвим, якщо за час координата не встигає помітно змінитися. В цьому випадку його вплив полягає в миттєвому зрушенні зображаючої точки M₀системи, з початкового положення M₀в деяке інше положення . Траєкторія незбуреного руху виходить з точки M, а збуреного – з і відрізняється від першої (рис.6.13, б). Вплив імпульсу позначається на всьому русі системи, хоча він діяв тільки при часі .

Позначимо через координати точки через При малому зрушенні різниця координат мала по абсолютній величині, тобто задовольняє умові

де η – деяке достатньо мале додатне число.

Малим збуренням називається таке імпульсне збурення, яке викликає мале зрушення початкового положення зображаючої точки системи.

Малим збуренням відповідають малі η, чим менше η, тим менше збурення.

2 Збурення, що безперервно діють.

Такі збурення діють на систему не тільки в початковий момент часу, але і в подальших (рис. 6.14). На перший погляд здається, що облік таких збурень зробить більш загальними і виводи, оскільки вони мають більш загальну форму, ніж імпульсні. Але на практиці виявляється не так.

Системи, стійкі при імпульсних збуреннях, стійкі і при безперервних; нестійкі при першому типі ­ нестійкі і при другому. Причиною цього є той факт, що безперервне збурення можна представити у вигляді послідовності імпульсів, тобто розрізати весь графік на імпульси тривалістю тому надалі розглядаються лише імпульсні збурення.