6.8.2 Критерій міхайлова

Цей критерій по суті є геометричною інтерпретацією принципу аргументу і був сформульований в 1938 р. радянським ученим Міхайловим.

Розглядається характеристичний поліном (6.27):

Заміна приводить до комплексного полінома, званого функцією Міхайлова.

де U V

називають відповідно дійсною і уявною функціями Міхайлова; – модуль ; – фазa .

При зміні частоти кінець вектора описуватиме деяку криву в комплексній площині, яка називається годографом Міхайлова.

При зміні частоти від 0 до кут повороту вектора D навколо початку координат рівний (6.45):

звідси число правих коренів полінома

тобто m = 0, якщо

Останнє є необхідною умовою стійкості, але недостатньою. Для того, щоб отримати необхідну і достатню умову стійкості, необхідно виключити корені, що знаходяться на уявній осі, тобто повинна виконуватися умова:

Формули (6.48 – 6.49) є математичним виразом критерію стійкості Міхайлова. Для того, щоб система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф Міхайлова при зміні ω від 0 до∞ обернувся, не проходячи через нуль, навколо початку координат проти годинникової стрілки на кут де n – порядок характеристичного рівняння.

Для стійких систем годограф Міхайлова починається при на дійсній півосі, тобто крім того із зростанням частоти фаза повинна монотонно зростати, тобто вектор повинен повертатися тільки проти годинникової стрілки, оскільки зростають фази елементарних векторів що є доданками фази вектора .

У зв'язку з цим критерій стійкості можна сформулювати таким чином:

З полінома в знаменнику передаточної функції АСР (характеристичного полінома) утворюється функція Міхайлова. Для того, щоб система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф Міхайлова при зміні частоти від 0 до∞, починаючись при на дійснійдодатній піввісі, обходив тільки проти годинникової стрілки послідовно n квадрантів координатної площини, де n – порядок характеристичного рівняння.

Годограф Міхайлова для стійких систем має плавну спіралевидну форму і йде в нескінченність в тому квадранті, номер якого рівний ступеню характеристичного рівняння (рис.6.20).

Ознакою нестійкості системи є порушення числа і послідовності проходження квадрантів.Приклади годографа Міхайлова для нестійких систем представлені на рис. 6.21.

Для нейтральних систем годограф Міхайлова зображений на рис. 6.22. У перших двох випадках невеликі деформації виводять систему на стійкість, в останньому ж система нестійка.

Побудова годографа Міхайлова практично проводиться або методом контрольних точок, або методом допоміжних годографів. Перший метод зводиться до визначення ряду точок годографа Міхайлова, відповідних фіксованим значенням частоти. При другому методі визначаються годографи окремих ланок, застосовуючи правила складання і множення векторів, будують шуканий годограф.

Аналізуючи годограф Міхайлова, можна встановити наступне: коли годограф Міхайлова послідовно проходить квадранти, то дійсна і уявна осі перетинаються по черзі. В точках перетину з дійсною віссю звертається в нуль уявна функція , а в точках перетину кривої з уявною віссю дійсна функція .

Частоти, при яких відбувається перетин осей, визначаються коренями рівнянь

Точки перетину кривих і V з віссю абсцис дають значення коренів рівнянь (рис. 6.25) для U : дляV =0: В цьому випадку для стійкої системи обов'язкове дотримання нерівності

У зв'язку з цим можна привести наступне формулювання критерію стійкості:

Система автоматичного управління буде стійка тоді і тільки тоді, коли дійсна і уявна функції Міхайлова, прирівняні нулю, мають всі дійсні і переміжаючі корені, причому загальне число ціх коренівдорівнює порядку характеристичного рівняння n, і при задовольняється умова .