8.2.1 Залежність між перехідною і частотними характеристиками

Для оцінки якості регулювання необхідно встановити зв’язок між перехідною і частотними характеристиками. У частотній області перехідна характеристика записується через перетворення Фурьє:

(8.12,а)

і через АФХ системи і зображення вхідної змінної по Фурье, з іншого боку

(8.12,б)

Використовуючи зворотне перетворення Фурьє і останні співвідношення, перехідний процес (перехідна характеристика) визначається таким чином:

(8.13)

При дії на вході одиничної ступінчастої функції x(t)= 1(t), зображення якої

співвідношення (8.13) для перехідної характеристики запишеться як

Представляючи АФХ через дійсну і уявну частину W(iω) = Re(ω) + iIm(ω) і розкладаючи по формулі Ейлера, вираз для перехідної характеристики перетвориться до зручнішого вигляду з використанням ДЧX- Re(ω):

(8.14)

Або УЧХ -Im(ω):

(8.15)

На практиці використовується формула (8.14), в якій ДЧХ є складною функцією і її інтегрування можливе тільки приблизно: чисельними методами із застосуванням ЕОМ або шляхом попередньої апроксимації складної характеристики Re(ω) кусочно-лінійними функціями, сумою трапецій або сумою трикутників, що дозволяє отримати достатньо зручні вирази.

Якщо на систему діє довільне збурення, то перехідний процес визначається по узагальнених дійсній і уявній характеристиках:

(8.16)

при цьому необхідно, щоб полюсы функції розташовувалися зліва від уявної осі.