logo search
Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ_OK

11.1 Загальні відомості про метод фазового простору

При дослідженняхнелінійних систем широко використовується метод фазового простору, щовідноситься до групиграфоаналітичнихметодів. Вони описуютьповедінку систем за допомогоюнаочнихгеометричнихуявлень - фазовихпортретів. Стосовно лінійних систем цей метод розглянутий в розділі 6.3.

Основним поняттям методу є поняття фазового простору, під яким розуміється простір, в якому прямокутними координатами точки є величини, що визначають миттєвий стан системи. Їх називають фазовими координатами.

Метод фазового простору застосовується як для лінійних, так і для нелінійних систем. Останні в загальномувипадкуописуються системою нелінійнихдиференціальнихрівняньвигляду:

(11.1)

де: у1, у2,…,уп – фазові координати;

t – час;

fl,f2, ... , fn - нелінійні функції.

Фазові координати у1,у2, ... , уnможуть мати будь-який фізичний сенс – температура, концентрація та ін., але зазвичай в якості них вибирають вихідну змінну і її (n-l) похідну, тобто

Найбільшого поширення метод фазового простору набув при дослідженні систем другого порядку. В цьому випадку фазовим простором є площина. Система диференціальних рівнянь (11.1) для системи другого порядку запишеться у вигляді:

(11.2)

З цієї системи отримують рівняння, що описує фазовий портрет. Для цього необхідно виключити з розгляду час, внаслідок чого отримують наступне рівняння

(11.3)

вирішення якого дає сімейство інтегральних кривих на фазовій площині, що є фазовими траєкторіями системи.

    1.