Фазові портрети нелінійних систем другого порядку

Фазові портрети нелінійних систем другого порядку визначаються рішенням диференціального рівняння (11.3), яке в даному випадку є нелінійним.

Лінійна система має єдиний стан рівноваги, визначуваний (11.3), і характер особливої точки повністю визначає поведінку системи при будь-яких відхиленнях від стану рівноваги. У нелінійній системі станів рівноваги може бути багато, отже і особливих точок також багато, але їх характер визначає поведінку фазових траєкторій тільки поблизу них. Так, на рис. 11.1 зображений типовий фазовий портрет нелінійної системи другого порядку.

Рис. 11.1 Фазовий портрет нелінійної системи другого порядку.

Ця система має три стани рівноваги в точках A, B, С. Причому точка А є особливою точкою типу «центр», а В і С – типу «сідло». При розгляді вільних рухів їх амплітуда може вирости до певної межі і залишатися далі постійною. На фазовій площині крім особливих точок фазовий портрет може містити особливі лінії, однією з яких є особлива траєкторія – ізольована замкнута крива, яку називають граничним циклом (рис. 11.2).

Рис. 11.2 Особливі фазові траєкторії – граничний цикл:

а – стійкий; б – нестійкий.

Фазові траєкторії можуть асимптотично наближатися до граничного циклу – «намотуватися» (рис. 11.2, а) і «змотуватися», йдучи в нескінченність (рис. 11.2, б).

Граничним циклам відповідають періодичні процеси, в околиці яких мають місце коливальні процеси (рис. 11.3), тобто граничному циклу відповідає режим автоколивань в системі.

Рис. 11.3 Перехідні процеси:

а – при стійкому граничному циклі; б – при нестійкому граничному циклі.

Граничні цикли можуть бути стійкими і нестійкими, і відповідно автоколивання - стійкими і нестійкими. Граничний цикл називається стійким, якщо фазові траєкторії зовні і зсередини "намотуються на нього" (рис. 11.2, а, 11.3, а). У такій системі обов'язково спостерігатиметься автоколивальний режим.

Граничний цикл називається нестійким, якщо фазові траєкторії віддаляються від нього з обох сторін, тобто "змотуються".

Якщо початкові умови такі, що зображуюча точка знаходиться усередині граничного циклу, представленого на рис. 11.2, а, то вона рухатиметься по фазовій траєкторії до нього, система поводиться, як нестійка система, особлива точка - початок координат є нестійким фокусом. Якщо ж в початковий момент часу зображуюча точка знаходиться зовні граничного циклу, то вона рухається по фазовій траєкторії, наближаючись до нього, система поводиться як стійка система. В цьому випадку говорять, що дана система нестійка "в малому", стійка "у великому" і режим автоколивань стійкий.

Якщо початкові умови такі, що одна фазова траєкторія "намотується" на граничний цикл, а інша - "змотується", то система є нестійкою і "в малому", і "у великому". В цьому випадку граничний цикл і відповідно режим автоколивань називається напівстійким (рис. 11.4, а).

Рис. 11.4 Фазовий портрет системи:

а – напівстійкий граничний цикл; б – з двома граничними циклами.

Система може мати не один, а декілька граничних циклів. Система, фазовий портрет якої зображений на рис. 11.4, б, має два граничні цикли, один з них - внутрішній стійкий, інший - зовнішній нестійкий. Стан рівноваги один і нестійкий.

Іншим видом особливих ліній, які зустрічаються в нелінійних системах, є сепаратриси - криві, що розділяють області фазового портрета з різним характером фазових траєкторій. Так, у лінійних системах другого порядку при розгляді фазового портрета типу сідло асимптоти гіпербол у2 = ±ωу1, ω2 = а0/а2, а1 = 0 і є якраз сепаратрисами.

Типовий фазовий портрет нелінійної системи другого порядку зображений на рис. 11.5. Тут є наступні особливі точки: точка А - стійкий фокус, точка В — нестійкий вузол і точка С - сідло. Відповідно до цього сепаратриси розділяють фазовий портрет на чотири області: 1 - затухаючих коливань, 2 - автоколивань, 3 і 4 - нестійких аперіодичних процесів.

Рис. 11.5 Фазовий портрет нелінійної системи.

Нелінійні системи з елементами, що мають зону нечутливості або сухе тертя, мають не один стаціонарний режим, а цілу область, що на фазовій площині виражається "витягуванням" особливої точки в особливу лінію.

На закінчення слід сказати, що якщо відомий фазовий портрет нелінійної системи, то про систему відомо все.