13.1 Режим автоколивань в нелінійних системах

Одній з основних особливостей нелінійних систем, як вже наголошувалося в розділі 10, є режим автоколивань. Автоколивання - це стійкі власні коливання, що виникають за рахунок неперіодичного джерела енергії і визначувані властивостями системи. Цей режим принципово відрізняється від коливань лінійної системи на межі стійкості. У лінійній системі при щонайменшому зменшенні її параметрів коливальний процес стає або затухаючим, або таким, що розходиться. Автоколивання ж є стійким режимом: малі зміни параметрів системи не виводять її з цього режиму. Амплітуда автоколивань не залежить від початкових умов і рівня зовнішніх дій.

Автоколивання в нелінійних системах в загальному випадку небажані, а іноді і недопустимі. Проте, в деяких нелінійних системах автоколивання є основним робочим режимом. Прикладами автоколивальних систем є годинник, електричний дзвінок, всілякі генератори. За певних умов автоколивання виникають і в хімічних реакторах.

Для більшості реальних систем визначення автоколивань є складною проблемою, будучи в той же час одним із завдань дослідження нелінійних систем.

При вивченні режиму автоколивань необхідно відповісти на питання, пов'язані з умовами їх виникнення - числом, параметрами автоколивань і їх стійкістю.

Як відомо, на фазовій площині автоколивальному режиму відповідає ізольована замкнута фазова траєкторія - граничний цикл. У зв'язку з цим прослідкувати умови виникнення автоколивань можна на прикладі виникнення граничного циклу. Існує два режими виникнення автоколивань, які називаються режимами м'якого і жорсткого збудження.

Характер виникнення автоколивань і зміну фазового портрета зручно прослідкувати на прикладі системи другого порядку.

Хай при деякому значенні якого-небудь параметра а системи її фазовий портрет має вигляд, представлений на рис. 13.1, а. Система стійка, всі фазові траєкторії ведуть до стану рівноваги, якою в даному випадку є початок координат.

Рис. 13.1 Режим м'якого збудження автоколивань:

а - стійкий стан системи; б - утворення граничного циклу нескінченно малих розмірів;

в- розпухання граничного циклу.

Параметр а можна змінювати. Змінюючи безперервно цей параметр систему можна зробити нестійкою. Допустимо, що при значенні параметра а = а1 утворюється стійкий граничний цикл нескінченно малих розмірів (рис. 13.1, б).

При подальшій зміні цього параметра граничний цикл розпухатиме (рис. 13.1, в), його наявність на фазовій площині говорить про виникнення в системі автоколивань. Подібний режим виникнення автоколивань називається режимом м'якого збудження.

При режимі м'якого збудження утворюється стійкий граничний цикл, але стан рівноваги стає нестійким. При цьому режимі іноді буває безпечно виходити за межі області стійкості, якщо при цьому граничний цикл виявляється достатньо малим. Автоколивання, що утворюються, мають малі розміри і знаходяться в межах допустимої погрішності, що може виявитися цілком прийнятним для системи регулювання і не несе небажаних явищ. Іноді ж ці автоколивання можуть бути навіть корисними, оскільки знищують застій в зоні нечутливості, утворений, наприклад, сухим тертям.

Інший характер виникнення автоколивань в нелінійних системах полягає в наступному. Також як і у попередньому випадку розглядається фазовий портрет стійкої системи

(рис. 13.2, а).

Рис. 13.2 Режим жорсткого збудження:

а - стійкий стан системи; б - утворювання двох злипшихся граничних циклів;

в - зміна розмірів граничних циклів; г - стійкий граничний цикл.

Хай змінюється який-небудь параметр а нелінійної системи, і при деякому його значенні а = а1утворюються два граничні цикли кінцевих розмірів які, як би "злипнулися" один з одним (рис. 13.2, б). Один з цих граничних циклів є стійким, а інший - нестійким. При подальшому збільшенні параметра а нестійкий граничний цикл "зіщулюється", зменшуючись по розмірах, а стійкий "розпухає", збільшуючись в розмірах (рис. 13.2, в). Нарешті, при деякому значенні параметра а = а2нестійкий граничний цикл "зіщулюється" до мінімуму і зливається з точкою рівноваги (рис. 13.2, г).

В результаті залишається лише один граничний цикл, причому стійкий. Нестійкий граничний цикл, злипнувшись з точкою рівноваги, як би заражає її своєю нестійкістю, і вона стає нестійкою.

Подібний режим виникнення автоколивань, при якому відразу ж виникає граничний цикл кінцевих розмірів, називається режимом жорсткого збудження. При режимі жорсткого збудження може виявитися небезпечним скільки завгодно малий вихід системи за межі області стійкості. Значення параметрів а1і а2, при яких якісно змінюється картина фазового портрета називаються біфуркаційними.

Для визначення автоколивань і їх дослідження розроблені спеціальні методи і критерії.