7.9 Малі параметри систем і їх вплив на стійкість

При розробці математичного опису системи нерідко вносяться ті або інші допущення, що полягають в зневазі малими параметрами системи. Останнє веде до пониження порядку диференціальних рівнянь і про стійкість судять по наближеним "вироджених" рівнянням чисто інтуїтивним шляхом. Проте для конкретних випадків можна оцінити вплив малих параметрів на стійкість.

Хай малий параметр μ входить лінійно в характеристичне рівняння системи, тобто це рівняння записується таким чином

(7.20)

де: μ – малий параметр; – поліном порядку n; - поліном порядкуm+n.

Тут можливі три характерні випадки:

1 Порядок чисельника функції

на одиницю вище за порядок знаменника, т = 1. В цьому випадку один з коренів характеристичного рівняння

і при μ > 0,

йде в нескінченність по негативній дійсній осі. При достатньо малих значеннях μ система буде стійкою, якщо корені виродженого рівняння = 0 – ліві.

2 Порядок чисельника функції

на два порядки вище за порядок знаменника, m= 2. В цьому випадку умовою стійкості системи є стійкість вирішення виродженого рівняння = 0 і виконання нерівності

3 Різниця порядків чисельника і знаменника m>2. В цьому випадку відкидати малі параметри при дослідженні стійкості неприпустимо.

Зустрічаються випадки, коли малий параметр входить в рівняння системи у вигляді полінома. Стійкість такої системи визначається тим, як розташовуються корені, що йдуть в нескінченність: справа чи зліва від уявної осі. Розташування цих коренів визначається, так званим, допоміжним рівнянням. Для того, щоб початкова система при достатньо малих μбула стійкою, необхідно і достатньо, щоб вироджене і допоміжне рівняння, кожне порізно, задовольняли умовам стійкості.