12.2.2.3 Теореми Ляпунова

В основі другого методу Ляпунова лежить відома теорема Дирихлє, згідно якої рівновага стійка, якщо в положенні рівноваги потенційна енергія системи має мінімум.

A.M. Ляпуновим були сформульовані три теореми: про стійкість, про асимптотичну стійкість і про нестійкість.

Теорема 1. Якщо існує знаковизначена функція V(у1, y2, ..., yn), похідна якої за часом в силу диференціальних рівнянь, що описують нелінійну систему, або є знакопостійною функцією протилежного з V знаку, або тотожно рівна нулю, то нелінійна система стійка.

Теорема 2. Якщо існує знаковизначена функція V(у1, y2, ..., yn), похідна якої за часом через диференціальні рівняння, що описують нелінійну систему, є знаковизначеною функцією протилежного з V знаку, то нелінійна система асимптотично стійка.

Теорема 3. Якщо існує яка-небудь функція V(y1, y2, ..., yn), похідна якої за часом через диференціальні рівняння, що описують нелінійну систему, є знаковизначеною функцією, причому в будь-якій скільки завгодно малій околиці початку координат є область, в якій знак функції V співпадає із знаком похідної dV/dt , то стан системи y1 = у2 = ... = yn = 0 нестійкий.

12.2.2.4 Методика застосування теорем Ляпунова

При заданих рівняннях системи регулювання можна підібрати декілька різних варіантів функції V, оскільки потрібні тільки знаковизначеність її і її похідної. Різні варіанти функції V, що задовольняють теоремі, можуть дати відповідно різні варіанти умов стійкості для однієї і тієї ж системи регулювання. При цьому одні з них будуть ширші, інші вужче, останні можуть входити в перші як окремий випадок і так далі Від більш менш вдалого підбору функції Ляпунова V залежатиме велика або менша близькість отриманих достатніх умов стійкості до необхідних і достатніх, тобто більш менш повний обхват всієї області стійкості даної системи. У більшості технічних завдань цілком задовольняються тільки достатніми умовами.

Методику застосування теорем Ляпунова зручно розглядати на прикладі стійкості нелінійних систем автоматичного регулювання з однією однозначною нелінійністю. Структурна схема такої системи зображена на рис. 12.3.

Рис. 12.3 Структурна схема нелінійної АСР

Хай керований об'єкт описується у фазовому просторі системою звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

(12.13)

де y1(t), y2(t) - фазові координати;

х(t) - скалярна координата;

а11, а12, а21, а22 – коефіцієнти, з яких може бути утворена невироджена матриця;

b1, b2 - коефіцієнти.

Регулятор включає в себе нелінійний виконавчий пристрій-привод, зворотній зв'язок приводу і вимірювально-підсилювальний пристрій. Цей регулятор описується наступними рівняннями

де σ - скалярна координата;

r - коефіцієнт зворотнього зв'язку приводу;

F(σ) - характеристика виконавчого пристрою;

С1, С2 - коефіцієнти, що характеризують вимірювально-підсилювальний пристрій, відповідно до якого вихідна координата об'єкту записується у вигляді С1у1(t) + C2y2(t).

Нелінійна функція може мати довільну непарно-симетричну форму (12.6), що задовольняє умовам

(12.15)

Для дослідження стійкості другим методом Ляпунова задана система рівнянь (12.13). (12.14) повинна бути приведена до канонічного вигляду шляхом заміни змінних:

(12.16)

Продиференціювавши ці співвідношення і провівши заміну відповідно до (12.16), отримують систему рівнянь вигляду

(12.17)

у припущенні, що матриця, складена з коефіцієнтів а11, а12, а21, а22приведена до діагональної форми, тобто коефіцієнти а12 = а21=0. Загальна матриця системи (12.17) повинна бути невиродженою, тобто

Для вирішуваного завдання функцію Ляпунова рекомендується брати у вигляді квадратичної форми плюс інтеграл від нелінійності

де В1, В2 - деякі позитивні квадратичні коефіцієнти координат z1і z2.

Інтеграл в цьому виразі також є позитивно певною функцією координати σ, що легко перевірити по вигляду характеристики F(σ). Таким чином, функція Ляпунова (12.18) є позитивно визначеною.

Похідна цієї функції (12.18) через рівняння системи (12.17) запишеться у вигляді

Провівши деякі перетворення і заміну змінних C1=-2В1а11, С2 = -2В2а22, похідна від функції Ляпунова прийме наступний вигляд

Отриманий вираз (12.19) є квадратичною формою і згідно теоремам Ляпунова повинна бути знаковизначеною або знакопостійною негативною функцією. Встановимо зворотнє: за яких умов ця похідна буде позитивною певною функцією. Для цього необхідно скористатися критерієм Сильвестра. Оскільки коефіцієнти С1 і С2 є коефіцієнтами позитивно-визначеної квадратичної форми, то нерівності критерію Сильвестра виконуються. Залишається зажадати, щоб

звідки

-(

Таким чином отримуємо, що коефіцієнт зворотнього зв'язку приводу повинен вибиратися відповідно до нерівності

Це і є достатньою умовою асимптотичної стійкості вирішення z1 = 0, z2 = 0, σ = 0. До умов стійкості не увійшли ніякі параметри характеристики F(σ). Отже, вони справедливі при будь- якій формі нелінійності, що задовольняє загальним вимогам (12.15). Такі умови стійкості, які не залежать від конкретної форми нелінійності, називають умовами абсолютної стійкості системи