12.3.2 Побудова функції Ляпунова методом г. Сеге

Згідно цьому методу функція Ляпунова записується у вигляді

де коефіцієнти aijє функціями фазових координат уi, тобто aij(yi).

Похідна від функції Ляпунова за часом буде

Роботу методу Г. Ceгe зручніше прослідкувати на прикладі систем другого порядку. В цьому випадку (12.31) прийме вигляд

Визначенню підлягають коефіцієнти а11(у1), а12(у1), а22(у2). Приймається, що а22(у2) = 1, тоді

і, отже, похідна (12.32) записується таким чином

(12.34)

Оскільки початкова нелінійна система другого порядку записується у вигляді

то похідна від функції Ляпунова через ці диференціальні рівняння буде

(12.35)

Припустимо, що права частина похідної функції Ляпунова є поліномом другого порядку відносно yk

де A0, A1, А2- поліноми, залежні від у1.

Для забезпечення стійкості у всій області (y1, у2) необхідно зажадати, щоб рівняння ψ(y1, y2) = 0 мало кратні корені, умовою якого є рівність нулю дискримінанта: .

Згідно методу Г. Сеге приймається А2 = А1 = 0 і на підставі цього складається система диференціальних рівнянь для визначення коефіцієнтів а11, а12:

(12.37)

Далі необхідно вирішити систему диференціальних рівнянь (12.37) відносно а11,а12. Знайдені значення коефіцієнтів підставляються у вираз для функції Ляпунова і її похідної, після чого перевіряється знаковизначеність функції V(у1, у2) і визначається знак похідної dV/dt. На підставі отриманих результатів про знаковизначеність функції V(y1, y2) і знаку dV/dt робиться вивід про стійкість системи автоматичного управління по Ляпунову: система буде стійкою, якщо отримали, що V(y1, у2) > 0, а dV/dt < 0.