9.4 Графоаналітичний метод розрахунку

Метод, який розглядається, відноситься до групи графоаналітичних методів, розроблених В. Я. Ротачем. В його основу закладені наступні положення.

По-перше, вважається, що система регулювання володіє необхідним запасом стійкості, якщо її показник коливальності не перевищує величини М = 1,1 ... 1,6, тобто одним з критеріїв оптимальності є забезпечення заданого показника коливальності .

По-друге, лінійну систему регулювання можна розглядати як своєрідний частотний фільтр, через який проходять складові гармоніки вхідних дій. Залежно від динамічних властивостей АСР гармоніки з різними частотами зазнають різні зміни, тобто амплітуда і фаза вихідного сигналу будуть інші, чим на вході.

Ідеальною системою регулювання вважається система, що володіє абсолютними фільтруючими властивостями. Амплітудно-частотна характеристика такої системи щодо збурюючих дій рівна нулю у всьому діапазоні частот від 0 до, а щодо управляючої дії, вона рівна 1 ( ).

Завдача вибору оптимальних параметрів настройок системи полягає в тому, щоб найбільшою мірою наблизити АЧХ реальної системи до АХЧ ідеальної системи. Оскільки в реальних системах практично неможливо добитися, щоб виконувалася , то параметри настройки повинні вибиратися так, щоб система найінтенсивніше фільтрувала "небезпечні" гармоніки. Оскільки виробничі об'єкти є низькочастотним фільтром, то доцільно вибрати такий метод, який гарантував би якнайкраще наближення частотних характеристик системи поблизу точки з нульовою частотою. Наближення реальної системи до ідеальної здійснюється шляхом розкладання в ряд Тейлора. Умову оптимальності можна записати у вигляді:

• щодо збурюючої дії

(9.6)

• щодо управляючої дії

(9.7)

Рівняння (9.6), (9.7) служать для визначення оптимальних параметрів настройок системи. Розрахунок проводиться в наступному порядку.

1 В просторі параметрів настройок регулятора визначається межа області, в якій система володіє достатнім запасом стійкості.

2 В цій області визначається точка, що задовольняє мінімуму відхилення частотних характеристик реальної системи від характеристик ідеальної.

Початковими даними є частотні характеристики об'єкту, зокрема, амплитудно-фазова.

Для побудови межі заданого запасу стійкості використовується наступний підхід. Як відомо, запас стійкості може визначатися двома числовими величинами: запасом стійкості по модулю і запасом стійкості по фазі, які характеризують ступінь віддалення АФХ розімкнутої системи від "небезпечної" точки .Але виявляється, що ступінь віддалення АФХ розімкнутої системи від точки може бути визначена по величині максимуму амплітудно-частотної характеристики замкнутої системи (див. 7.3.2).

Таким чином, вимога, щоб максимум АЧХ замкнутої системи не перевищував деякої заздалегідь заданої величини, зводиться до вимоги, щоб АФХ розімкнутої системи не заходила всередину області, обмеженої радіусом r і з центром на відстані R від початку координат, розташованої на негативній дійсній піввісі.

Після визначення області заданого запасу стійкості проводиться визначення точки в цій області, відповідній оптимальним настройкам регулятора.

9.4.1 П-РЕГУЛЯТОР

Передаточна функція П-регулятора записується у вигляді

.

Амплитудно-фазова характеристика розімкнутої системи з П-регулятором:

Визначення оптимальної настройки проводиться в наступному порядку.

Будується АФХ розімкнутої системи при = 1, що відповідає тобто побудові АФХ регульованого об'єкту. Далі, з початку координат проводиться промінь під кутом

(9.8)

до негативної дійсної піввісі..

Викреслюється коло з центром на дійсній негативній піввісі, що торкається одночасно АФХ об'єкта і цього променя:

(9.9)

В більшості випадків розрахунок систем автоматичного регулювання проводиться на забезпечення показника коливальності М = 1,62, що гарантує запас стійкості по модулю d = 0,38 і по фазі γ = 36°, а ступінь згасання перехідного процесу в коливальній ланці ; γ= 0,9. Відповідно до цього формули (9.8) і (9.9) приймають вигляд

(9.10)

Знайдене значення коефіцієнта передачі є оптимальним значенням.

9.4.2 І-РЕГУЛЯТОР

Передаточна функція І-регулятора:

Амплитудно-фазова характеристика розімкнутої системи:

Розрахунок І-регулятора проводиться в два етапи:

1 По АФХ регульованого об'єкту будується АФХ розімкнутої системи для kр = 1 і деякого значення постійною часу Tр, величина якого вибирається будь-яким, зручним для побудови характеристики:

Останню зручно будувати, повертаючи кожен вектор АФХ об'єкту на кут 90° за годинниковою стрілкою і зменшуючи його довжину в раз (рис. 9.3).

2 Проводиться лінія під кутом βдо негативної дійсної піввісі і викреслюється коло з центром, розташованим на цій осі, яке торкається одночасно побудованої лінії і АФХ . Величина коефіцієнта передачі , що забезпечує задану величину максимуму АЧХ замкнутої системи (заданий показник коливальності визначається по формулі

(9.9)), і, отже, величина граничного коефіцієнта передачі І-регулятора, яка є і його оптимальним значенням, визначається як

(9.11)

Рис. 9.3 Визначення граничного коефіцієнта передачі І-регулятора

Якщо =1.62, то

(9.12)

9.4.3 ПІ-РЕГУЛЯТОР

Передаточна функція ПІ-регулятора:

Амплитудно-фазова характеристика розімкнутої системи:

Розрахунок ПІ-регулятора проводиться в наступному порядку:

1 Будується сімейство АФХ розімкнутої системи при kр = 1 і деяких різних значеннях часу ізодрома , які вибираються довільно, але з погляду зручності побудови:

Для визначення межі області стійкості ПІ-регулятора спочатку викреслюється АФХ об'єкту , яку досить мати в межах III квадранта комплексної площини W (рис. 9.4).

Рис. 9.4 До визначення коефіцієнтів передачі ПІ-регулятора для різних Тіl

На цій характеристиці вибираються точки ...з частотами , …, які з’єднуються з початком координат відрізками ... До цих відрізків в точках ... встановлюються перпендикуляри. Далі визначаються положення точок АФХ розімкнутої системи. З цією метою на встановлених перпендикулярах відкладаються відрізки , які визначаються, як

.

З’єднуючи точки BJз часом ізодрома плавною кривою, отримують АФХ розімкнутої системи. Аналогічним чином будуються АФХ розімкнутої системи для інших значень .

2 Проводиться лінія під кутом βдо дійсної негативної піввісі і будуються кола з центром на цій осі, які торкаються АФХ розімкнутої системи для різних Тіlі цієї прямої. Для кожного значення Тіlвизначається граничне значення коефіцієнта передачі

якщо = 1,62, то β=380,

3. У площині параметрів настройок – будується межа області, в якій максимум АЧХ замкнутої системи щодо управляючої дії не перевищує заданої величини. З цією метою використовуються отримані дані kpl Тіl (рис. 9.5).

Рис. 9.5 Визначення оптимальної настройки ПІ-регулятора

Оптимальним настройкам регулятора відповідає точка, для якої відношення буде максимальним, оскільки саме в ній виконується умова (9.7). Такою точкою є точка дотику дотичної до межі області допустимого запасу стійкості, проведеної через початок координат.

Дійсно, будь-яка інша пряма, що виходить з початку координат з великим відношенням , яке визначає кутовий коефіцієнт, не проходитиме через область допустимого запасу стійкості, і тому отримати велику величину відношення в даній системі неможливо без зменшення її стійкості нижче за необхідну величину.